Orario di ricevimento: da concordare tramite mail o telefonicamente.

Programma sintetico del corso “ANALISI SUPERIORE 1” – LM in Matematica – 9 CFU (72 ore):

Analisi complessa: richiami sui numeri complessi; funzioni complesse: funzioni complesse di variabile complessa; limiti di funzioni complesse; funzioni olomorfe; la condizione di Cauchy-Riemann; alcune particolari funzioni complesse tra cui, in particolare: polinomi complessi; esponenziale complesso; funzioni trigonometriche complesse; logaritmo complesso; radice n-esima complessa; funzioni armoniche; curve in campo complesso; mappe conformi; integrali curvilinei di funzioni complesse; funzioni primitive; teorema di Morera; primo e secondo Teorema di Cauchy e formule di Cauchy; richiami sulle serie di potenze e analiticità delle funzioni olomorfe; Teorema di Liouville; principio di identità; prolungamento analitico; principio del massimo modulo; serie di Laurent; zeri e singolarità isolate delle funzioni olomorfe; funzioni meromorfe; Teorema di Casorati; Teorema di Picard; Teorema dei residui; Teorema dell'indicatore logaritmico; Teorema di Rouché; Lemma di Jordan. Alcune tipologie di integrali risolvibili tramite l'integrazione complessa.

Elementi di analisi funzionale: richiami su spazi normati e spazi di Banach; operatori e funzionali lineari; dualità; teorema di Helly-Hahn-Banach; teorema di Banach-Steinhaus; topologie deboli; spazi riflessivi; spazi separabili; spazi uniformemente convessi; spazi di Lebesgue: definizione e principali proprietà degli spazi L^p; disuguaglianza di Holder; Teorema di Fischer-Riesz; riflessività, separabilità e duale; Teorema di rappresentazione di Riesz.

Trasformazione di Fourier: trasformata di Fourier in L^1(R); definizione e proprietà; trasformazione di Fourier e derivazione; trasformazione e convoluzione; antitrasformata di Fourier; trasformata di Fourier in L^2(R); Teorema di Plancherel; alcune applicazioni.
 
Trasformazione di Laplace: definizione e proprietà; trasformata di Laplace e derivazione; trasformata di Laplace e convoluzione; inversione della trasformata di Laplace; legame con la trasformazione di Fourier; alcune applicazioni.

Programma dettagliato del corso: contiene indicazioni precise sui diversi argomenti trattati e sulle dimostrazioni (c.d. = con dimostrazione) richieste per la/e prove d'esame (sarà disponibile a corso ultimato).

Prerequisiti: calcolo differenziale e integrale in una e più variabili; topologia generale; forme differenziali lineari; successioni e serie di funzioni; serie di potenze e serie di Fourier; funzioni analitiche in campo reale; equazioni differenziali ordinarie; misura e integrazione secondo Lebesgue.

Registro ufficiale delle lezioni.

Orario del corso: lunedì, mercoledì e giovedì dalle 9:00 alle 11:00 e venerdì dalle 11:00 alle 13:00 (reperibile anche sul sito del corso di studi in Matematica) in Aula 2.

Testi di riferimento: i testi principali utilizzati durante il corso sono i seguenti (rispettivamente, per gli argomenti: analisi complessa, analisi funzionale, trasformate):

L.V. Ahlfors, Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, third edition, McGraw-Hill (1979).

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev Spaces and partial differential equations, Springer, New York (2011).

G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli (2001).

Dispense: 

Dispense di analisi complessa

Dispense di analisi funzionale

Dispense sulle trasformate: si posssono utilizzare le dispense dello anno accademico 2021/2022.

Metodi didattici:

Il corso è costituito da 72 ore di lezioni frontali.

La didattica sarà erogata in presenza, come previsto nel Manifesto degli Studi per l'A.A. 2022/23. Le lezioni potranno essere integrate con materiali audiovisivi e con lo streaming.
Lo strumento prevalentemente utilizzato per le lezioni frontali sarà la lavagna.

Le lezioni, oltre al contenuto teorico, prevedono anche l'illustrazione dei procedimenti esecutivi o risolutivi attinenti alle parti del programma che le contemplano (esempi miranti a far raggiungere gli obiettivi relativi alle capacità applicative); esse prevedono una partecipazione attiva degli studenti, soprattutto nella parte relativa alle conoscenze applicative. Durante le lezioni, inoltre, il docente esorta gli studenti ad intervenire sia con domande di chiarimento sia con eventuali osservazioni e/o commenti di approfondimento e connessione degli argomenti trattati. Alcune dimostrazioni, non richieste nella prova orale, vengono lasciate agli studenti come approfondimento: gli incontri col docente per chiarimenti e spiegazioni sono quindi considerati parte integrante dell’attività formativa. Sul sito del docente https://www.unica.it/unica/it/ateneo_s07_ss01.page?contentId=SHD30623 vengono gradualmente fornite le dispense del corso aggiornate nonché il registro delle lezioni.

Modalità della prova d’esame:

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi.
La verifica dell’apprendimento avviene tramite una prova scritta e una orale. La prima prevede la risoluzione di due esercizi, uno di analisi complessa e uno sulle trasformate (si veda l’obiettivo formativo “conoscenze applicative”) e due domande a risposta aperta (riguardanti l'analisi complessa e le trasformate), che può richiedere la dimostrazione di un teorema e/o l’esposizione di concetti e/o l’esibizione di un esempio (la domanda può quindi essere articolata in più punti); la durata della prova scritta è di due ore e mezza. 
La seconda (da sostenersi entro tre mesi dalla prova scritta) consiste in un colloquio durante il quale lo studente deve dimostrare di conoscere i contenuti riguardanti l’analisi funzionale: il docente fa due domande principali sugli argomenti trattati a lezione; a queste se ne possono aggiungere eventualmente altre, volte ad accertare che lo studente abbia padronanza dei contenuti (il numero degli interventi del docente dipende, ovviamente, anche dal livello di preparazione dello studente: se è sufficientemente esaustivo, le ulteriori domande saranno ridotte); durante l’esposizione si tiene in considerazione la capacità di collegare gli argomenti trattati, di citare autonomamente (senza che venga espressamente richiesto) esempi e/o applicazioni della teoria esposta. La durata della prova dipende dal livello di preparazione dello studente; in media è di 45 minuti.
Il voto è espresso in trentesimi in entrambe le prove, e il voto finale è ottenuto facendo la media dei due. Se la prova orale non viene superata, lo studente ha la possibilità di sostenerla un'altra volta conservando la validità del voto della prova scritta (se la scadenza dei tre mesi non è stata superata). Nella prova scritta viene specificato il punteggio assegnato a ciascuna parte da svolgere. Vengono valutati il livello di conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di mettere in relazione i contenuti, la chiarezza e correttezza espositiva e la capacità di applicazione delle conoscenze relativamente alla parte degli esercizi di analisi complessa. Per superare l'esame lo studente deve dimostrare di possedere una conoscenza di base degli argomenti trattati nel corso. La lode viene attribuita nel caso di prove particolarmente brillanti. In particolare, il voto finale è assegnato seguendo la seguente Tabella Docimologica:
Insufficiente: lo studente dimostra di non conoscere e/o non aver compreso i contenuti fondamentali del corso.
18-24: lo studente conosce quasi tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato sufficientemente gli argomenti.
25-28: lo studente conosce tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato bene gli argomenti; possiede una buona padronanza di linguaggio ed espone chiaramente i contenuti.
29-30: lo studente conosce molto bene tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato molto bene gli argomenti; possiede una buona padronanza di linguaggio ed espone molto chiaramente i contenuti; è in grado di spiegare le nozioni apprese.
30 e lode: lo studente conosce perfettamente tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato in profondità tutti gli argomenti; possiede un’ottima padronanza di linguaggio e ed espone molto chiaramente i contenuti; è in grado di spiegare le nozioni apprese.
Le date degli appelli (6 in un anno accademico) sono fissate per la prova scritta, mentre la successiva prova orale può essere concordata col docente con almeno una settimana d’anticipo.

Date delle prove scritte d’esame:

martedì 17 gennaio 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

venerdì 3 febbraio 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

giovedì 23 febbraio 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

mercoledì 14 giugno 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

venerdì 14 luglio 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C;

mercoledì 13 settembre 2023: Palazzo delle Scienze, ore 9:30, aula C.

Altre informazioni:

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell’apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Per ulteriori dettagli e informazioni sul corso si veda la scheda dell’insegnamento su ESSE3.