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Appello riservato a fuori corso

In autunno sarà aperto un appello riservato ai soli studenti fuori corso: la data sarà comunicata su questa pagina (e su Esse 3, ovviamente).

Programma svolto

Analisi complessa

• Rappresentazioni dei numeri complessi (cartesiana, polare, esponenziale, matriciale) (qualsiasi testo)
• Operazioni elementari con i numeri complessi, proprietà e interpretazioni geometriche (qualsiasi testo)
• "Prodotto scalare" tra numeri complessi (qualsiasi testo)
• Elevamento a potenza e radice n-esima di un numero complesso, radici n-esime dell'unità (qualsiasi testo)
• Applicazioni fisiche: cinematica in coordinate polari, moto di precessione (cfr. Bernardini 1.2)
• Polidromia funzioni di variabile complessa: ramo principale, passaggio ad altri rami, punti di diramazione, tagli, esempi (potenze a esponente razionale) (Cicogna 3.12, Rossetti 1.21.2 limitandosi alle nozioni esposte a lezione per il momento) 
• Punto all'infinito, sfera di Riemann (Bernardini 1.3, Cicogna 3.10 solo definizione per il momento)
• Definizione di funzione di variabile complessa, parte reale e parte immaginaria, limiti e continuità (Rossetti 1.1.1, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3)
• Derivabilità di una funzione complessa: condizioni di Cauchy-Riemann e definizione di funzione analitica/olomorfa (Rossetti 1.1.2, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.4)
• Funzioni elementari di variabile complessa: funzioni algebriche (somme, prodotti, potenze, quozienti, radici) e trascendenti (esponenziale, logaritmo, trigonometriche, iperboliche) (Rossetti 1.1.3, Bernardini 1.3.7)
• Funzioni analitiche e funzioni armoniche, trasformazioni conformi, applicazione fisica per campi conservativi (Cicogna 3.14, Rossetti 1.5.1, 1.5.2, Bernardini 1.3.5, 1.3.6, 1.5.1, 1.5.2)
• Integrazione in campo complesso: curve sul piano complesso (regolare, regolare a tratti, chiusa, semplice, equivalenza per omotopia), integrale di linea, integrale di funzione complessa di variabile reale e di variabile complessa (Rossetti 1.1.6, Bernardini 2.1)
• Disuguaglianza di Darboux, teorema di Cauchy, corollario al teorema di Cauchy e definizione di primitiva, teorema di Morera, rappresentazione integrale di Cauchy, rappresentazione integrale per derivate (Rossetti 1.1.7, 1.1.8, Cicogna 3.3, 3.4, Bernardini 2.2(esclusa dimostrazione di Goursat), 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3)
• Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy: teorema di Liouvillle, teorema fondamentale dell'algebra, teorema della media, teorema del massimo del modulo (stessi capitoli del punto precedente)
• Applicazioni fisiche integrazione funzioni complesse: circuitazione e flusso del campo vettoriale associato (esempi del filo infinito percorso da corrente e carica puntiforme sul piano)
• Successioni e serie di funzioni reali: convergenza puntuale e suoi svantaggi, convergenza uniforme (con continuità del limite, derivabilità, integrabilità), criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme, serie di potenze, raggio di convergenza e criteri per determinarlo (dispense di Analisi 2)
• Successioni e serie sul piano complesso: estensione risultati reali al campo complesso, teorema di Weierstrass per successioni di funzioni analitiche, serie di potenze, serie di Taylor-Laurent (Rossetti 1.12, Cicogna 3.5, Bernardini 3.1, 3.2.1, 3.4.1, 3.4.2)
• Zeri, singolarità polari e singolarità essenziali di una funzione analitica, teorema di Weierstrass per singolarità essenziali, studio del punto all'infinito (Rossetti 1.13, Cicogna 3.6, 3.7, 3.8, Bernardini 1.6.1,1.6.2)
• Definizione di residuo, teorema dei residui, intepretazione fisica in termini di sorgenti del campo vettoriale associato, tecniche di calcolo dei residui, residuo nel punto all'infinito (Rossetti 1.14, Cicogna 3.9, 3.10, 3.11)
• Calcolo di integrali reali tramite il teorema dei residui: integrali trigonometrici, integrali sull'intero asse reale e lemma di Jordan, integrali riconducibili a integrali gaussiani, singolarità sul cammino di integrazione e parte principale di un integrale (Rossetti 1.17, 1.18, 1.19, Cicogna 3.9, 3.13)
• Continuazione analitica alla Borel e alla Weierstrass (Rossetti 1.20)
• Integrali lungo tagli, richiami sulle funzioni polidrome e cenni sulle superfici di Riemann (Rossetti 1.21, Cicogna 3.12) 

Analisi armonica

• Applicazioni fisiche: onde elastiche e equazione di D'Alembert, circuito RLC serie con forzante esterna (necessità dello sviluppo in serie) (Cicogna 2.1, 2.2)
• Serie di Fourier con esponenziali complessi e con funzioni trigonometriche, calcolo dei coefficienti in entrambi i casi, cambio variabili di integrazione (intervallo di periodicità), interpretazione in termini di generalizzazione di spazio vettoriale (Cicogna 2.3, Rossetti 5.1, 5.2)
• Esempi: funzione gradino (sia con esponenziali complessi sia con seni/coseni), f(x)=x, f(x)=|x| (Rossetti 5.5)
• Convergenza puntuale della serie di Fourier: lemma di Riemann e teorema di Dirichlet (Rossetti 5.3)
• Identità di Parseval (i vari testi la fanno nella parte dedicata agli spazi vettoriali, dunque dovrete basarvi sulla trattazione fatta a lezione e sulle applicazioni fatte in Rossetti 5.5)
• Ulteriori esempi (|sen x|, exp(ax), x^2/2) e nuova discussione delle soluzioni della corda vibrante a partire dalla configurazione iniziale "pizzicata" (Cicogna 2.4) 
• Delta di Dirac: definizione, approssimanti, proprietà. Theta di Heaviside. Cenni sulla definizione di delta e theta in termini di distribuzioni (Rossetti 6.1, 6.3, 6.4 senza dimostrazioni, Cicogna 4.11)
• Trasformata di Fourier: definizione come limite continuo di una serie di Fourier, primi esempi (lorentziana, gradino, gaussiana), convergenza dell'antitrasformata di Fourier, proprietà della trasformata di Fourier: linearità, parità, trasformata della derivata e derivata della trasformata, comportamento asintotico, convoluzione, identità di Parseval, traslazione, moltiplicazione per esponenziale (Rossetti 7.1, Cicogna 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, gli altri paragrafi del Cicogna richiedono nozioni relative agli spazi vettoriali)
• Soluzione equazioni differenziali mediante trasformata di Fourier (equazione del calore, circuiti RL e RLC), funzione di Green e sue proprietà, cenni sulle relazioni di dispersione (Cicogna 4.9, 4.10, 4.12, 4.14, 4.22)
• Trasformata di Laplace: definizione, ascissa di convergenza, analiticità, antitrasformata. Primi esempi: trasformate di polinomi, trigonometriche, esponenziali, iperboliche. Proprietà della trasformata di Laplace: linearità, trasformata della derivata, trasfomrata dell'integrale, traslazione, moltiplicazione per esponenziale, convoluzione. (Rossetti 7.2, Cicogna 4.17, 4.18, 4.19, 4.20)
• Soluzione equazioni differenziali mediante trasformata di Laplace (RLC con transitorio, equazione di D'Alembert) (Cicogna 4.22)

Analisi funzionale

• Spazi vettoriali su campo complesso: somma, moltiplicazione per scalare, elemento neutro, elemento opposto, dimensionalità, sottospazio. Definizione di prodotto scalare e ortogonalità. Notazione di Dirac (bra, ket) e spazio duale (spazio dei funzionali lineari). Disuguaglianza di Schwarz. Spazio unitario e spazio metrico (Rossetti 2.1)
• Algebra degli operatori lineari. Definizione e proprietà elementari. Operatore inverso. Azione di un operatore su un bra. Operatore hermitiano coniugato o aggiunto. Operatore hermitiano o autoaggiunto. Operatore unitario (Rossetti da 2.2.1 a 2.2.6)
• Definizione operatori in termini di bra e ket, proiettori, autovalori e autovettori di un operatore hermitiano, base di uno spazio vettoriale, rappresentazione in termini di vettori e matrici di bra, ket, operatore, operatore aggiunto (Rossetti da 2.2.7 a 2.2.9, 2.3, 2.4)
• Cambiamenti di base: trasformazione di ket, bra, operatori. Componenti covarianti e controvarianti. Basi ortonormali e matrici unitarie (Rossetti 2.5, 2.6)
• Richiamo su equazione agli autovalori, autovettori e basi ortonormali. Operatori normali e diagonalizzazione simultanea di operatori normali (Rossetti 2.7, 2.8)
• Spazio delle funzioni come spazio vettoriale di dimensione infinita, definizione di prodotto scalare e verifica delle proprietà, norma indotta dal prodotto scalare, disuguaglianza di Schwarz. Cenni sull'integrale di Lebesgue come generalizzazione/estensione dell'integrale di Riemann, funzioni sommabili secondo Lebesgue e definizione dello spazio L^2(a,b). Insieme infinito (numerabile) di funzioni ortonormali , sviluppo in serie generalizzata di Fourier, disuguaglianza di Bessel, definizione di sistema ortonormale completo (base) in base a identità di Parseval, convergenza in media quadratica dello sviluppo. Completezza dello spazio L^2 (teorema di Fischer-Riesz) e definizione di spazio di Hilbert (Rossetti 3.1, 3.3, 3.4 esclusa numerabilità, 3.5 solo il primo sottocapitolo, 3.7 solo enunciato, 3.9) (Cicogna da 2.6 a 2.12 contiene quasi tutto ciò che abbiamo detto, 2.13 e 2.14 vanno letti facendo molti slalom)
• Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatore continuo e operatore limitato (con esempi), equivalenza tra continuità e limitatezza, norma di un operatore, operatore aggiunto, hermitiano e autoaggiunto, trasformazioni unitarie, autovalori e autovettori, teorema spettrale (Cicogna 2.16, 2.17, 2.19, 2.20)
• Polinomi ortogonali: introduzione e concetti generali. Polinomi di Legendre: costruzione esplicita a partire da sistema delle potenze, formula di Rodrigues, equazione differenziali, funzione generatrice, relazioni di ricorrenza. Applicazioni: laplaciano in coordinate sferiche, armoniche sferiche come base di L^2 sulla superficie di una sfera. Polinomi di Hermite: costruzione esplicita a partire da sistema delle potenze, formula di Rodrigues, equazione differenziali, funzione generatrice, relazioni di ricorrenza. (potrei dirvi Rossetti capitolo 4, ma dovete fare PARECCHI slalom)
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti non costanti: soluzioni tramite problema di Sturm-Liouville. Definizione dell'operatore lineare autoaggiunto, proprietà rilevanti degli autovalori e delle autofunzioni, casi particolari (Hermite, Legendre, Laguerre, Bessel) (Cicogna 2.21, 2.23)
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti non costanti: soluzioni tramite sviluppo in serie (metodo di Frobenius). Punti regolari e punti fuchsiani, relazioni di ricorrenza per i coefficienti, teorema di Fuchs sulle soluzioni in corrispondenza dei punti singolari. Esempi: oscillatore armonico semplice, equazione di Hermite, equazione di Bessel (Rossetti 8.5, ma anche qui c'è molto di più di quanto fatto in aula)

Orario del corso a.a. 2024/2025

• Lunedì 9-11
• Martedì 11-13
• Mercoledì 9-11 (tendenzialmente, esercitazioni)
• Giovedì 11-13
• Venerdì 9-11

Ricevimento

Passate quando volete in ufficio (2A24): se vi va male, vi chiedo di ripassare tra un quarto d'ora.

Volendo proprio fissare un giorno, facciamo il mercoledì tra le 14:00 e le 15:00.

Modalità d'esame

• Prova scritta: 2 prove parziali su metà programma (fine aprile, inizio giugno), oppure prova totale (vedi calendario su Esse3)
• Prova orale: 2 orali separati su metà programma dopo i singoli parziali, oppure orale totale sull'intero programma dopo il secondo parziale o dopo lo scritto
• Modalità orale: discussione dello scritto + 1 argomento a piacere (teoria o applicazioni fisiche) + 1 domanda (teoria)

Testi di riferimento

• C. Rossetti - Metodi matematici per la Fisica - Levrotto & Bella
• G. Cicogna - Metodi matematici della fisica - Springer
• C. Bernardini, O. Ragnisco, P.M. Santini - Metodi matematici della fisica - Carocci Editore

Testi per eventuali approfondimenti

• O. Luongo, S. Mancini - Introduzione ai metodi matematici delle scienze fisiche - McGrawHill
• G. Arfken - Mathematical Methods for Physicists - Academic Press
• K.F. Riley, M. P. Hobson - Essential mathematical methods for the physical science - Cambridge University Press
• S. Hassani - Mathematical physics - Springer