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• Orario settimana del 18 maggio e settimana del 25 maggio:
  • LU-MA-ME-GI lezione
  • VE esercitazione
• Il secondo parziale sarà lunedì 8 giugno in orario di lezione (9-11)

Orario del corso a.a. 2025/2026

• Lunedì 9-11
• Martedì 9-11
• Mercoledì 9-11
• Giovedì 9-11 (esercitazioni)
• Venerdì 9-11 (jolly)

Programma svolto

02/03:  
- Introduzione ai numeri complessi: somma, prodotto, coniugazione e sue proprietà 
- Teorema delle radici complesse coniugate 
- Assenza di ordinamento totale sul piano complesso  
(qualsiasi testo o risorsa online) 

03/03:  
- Rappresentazioni dei numeri complessi (cartesiana, polare, esponenziale, matriciale) 
- Esponenziale, logaritmo, seni e coseni (trigonometrici e iperbolici) 
- Interpretazione geometrica delle operazioni 
- Elevamento a potenza n-esima e radice n-esima 
- “Prodotto scalare”  
(qualsiasi testo o risorsa online) 

04/03: 
- Applicazioni fisiche dei numeri complessi: cinematica in coordinate polari, forza centrale 
(Bernardini 1.2) 
- Polidromia funzioni di variabile complessa: ramo principale, passaggio ad altri rami, punti di diramazione, tagli, esempi con potenze a esponente razionale  
(Cicogna 3.12, Rossetti 1.21.2 limitandosi alle nozioni esposte a lezione per il momento) 

09/03:  
- Punto all'infinito, sfera di Riemann  
(Bernardini 1.3, Cicogna 3.10 solo definizione per il momento)  
- Definizione di funzione di variabile complessa, parte reale e parte immaginaria, limiti e continuità  
(Rossetti 1.1.1, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3) 

10/03:  
- Derivabilità di una funzione complessa: condizioni di Cauchy-Riemann e definizione di funzione analitica/olomorfa  
(Rossetti 1.1.2, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.4) 

11/03:   
- Funzioni elementari di variabile complessa 
- Funzioni algebriche (somme, prodotti, potenze, quozienti, radici) 
- Funzioni trascendenti (esponenziale, logaritmo, trigonometriche, iperboliche)  
(Rossetti 1.1.3, Bernardini 1.3.7) 

16/03:  
- Rapporto tra funzioni analitiche e funzioni armoniche 
- Trasformazioni conformi dirette e inverse 
- Applicazione fisica per campi conservativi  
(Cicogna 3.14, Rossetti 1.5.1, 1.5.2, Bernardini 1.3.5, 1.3.6, 1.5.1, 1.5.2)  
- Integrazione in campo complesso: richiami di Analisi 2 (curva in forma parametrica, regolare, regolare a tratti, chiusa, semplice, di Jordan, equivalenza per omotopia, integrale di linea di f scalare e f vettoriale, teorema di Stokes  
(dispense di Analisi 2, Rossetti 1.1.6, Bernardini 2.1) 

17/03: 
- Integrale di funzione complessa di variabile complessa (Rossetti 1.1.6, Bernardini 2.1) 
- Disuguaglianza di Darboux 
- Teorema di Cauchy 
- Corollario al teorema di Cauchy e definizione di primitiva 
- Teorema di Morera  
(Rossetti 1.1.7, 1.1.8, Cicogna 3.3, 3.4, Bernardini 2.2(esclusa dimostrazione di Goursat), 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3) 

18/03: 
- Rappresentazione integrale di Cauchy
- Rappresentazione integrale per derivate 
- Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy: teorema di Liouvillle, teorema fondamentale dell'algebra, teorema della media, teorema del massimo del modulo 
(stessi capitoli del punto precedente) 
- Applicazioni fisiche integrazione funzioni complesse: circuitazione e flusso del campo vettoriale associato (esempi del filo infinito percorso da corrente e carica puntiforme sul piano) 

24/03:  
- Successioni e serie sul piano complesso: estensione risultati reali al campo complesso 
- Teorema di Weierstrass per successioni di funzioni analitiche 
- Serie di Taylor-Laurent  
(Rossetti 1.12, Cicogna 3.5, Bernardini 3.1, 3.2.1, 3.4.1, 3.4.2) 

25/03:  
- Zeri, singolarità polari e singolarità essenziali di una funzione analitica 
- Teorema di Weierstrass per singolarità essenziali (solo enunciato) 
- Studio del punto all'infinito  
(Rossetti 1.13, Cicogna 3.6, 3.7, 3.8, Bernardini 1.6.1,1.6.2)  
- Definizione di residuo 
- Teorema dei residui 
- Intepretazione fisica in termini di sorgenti del campo vettoriale associato 
- Tecniche di calcolo dei residui, residuo nel punto all'infinito  
(Rossetti 1.14, Cicogna 3.9, 3.10, 3.11) 

26/03: 
- Calcolo di integrali reali tramite il teorema dei residui 
- Integrali trigonometrici 
- Integrali sull'intero asse reale e lemma di Jordan 
- Integrali riconducibili a integrali gaussiani 
(Rossetti 1.17, 1.18, Cicogna 3.9) 

13/04: 
- Singolarità sul cammino di integrazione e parte principale di un integrale 
- Integrali lungo tagli  
(Rossetti 1.19, 1.21, Cicogna 3.12, 3.13) 

14/04:  
- Continuazione analitica alla Borel e alla Weierstrass  (Rossetti 1.20) 
- Gamma di Eulero  (qualsiasi risorsa online) 
- Introduzione all’analisi armonica tramite equazione di D’Alembert e circuito RLC con forzante esterna  (Cicogna 2.1, 2.2) 

15/04:  
- Serie di Fourier con esponenziali complessi e con funzioni trigonometriche 
- Calcolo dei coefficienti in entrambi i casi 
- Cambio variabili di integrazione (intervallo di periodicità) 
- Interpretazione in termini di generalizzazione di spazio vettoriale  
(Cicogna 2.3, Rossetti 5.1, 5.2)  
- Esempi svolti: funzione gradino, f(x)=x, f(x)=|x|  
(Rossetti 5.5) 

20/04:  
- Convergenza puntuale serie di Fourier: lemma di Riemann e teorema di Dirichlet  (Rossetti 5.3)  
- Identità di Parseval  (i vari testi la fanno nella parte dedicata agli spazi vettoriali, dunque dovrete basarvi sulla trattazione fatta a lezione e sulle applicazioni fatte in Rossetti 5.5) 

21/04: 
- Ulteriori esempi (|sen x|, exp(ax), x^2/2) e nuova discussione delle soluzioni della corda vibrante a partire dalla configurazione iniziale "pizzicata" (Cicogna 2.4) 

22/04:
- Delta di Dirac: definizione, approssimanti, proprietà. Theta di Heaviside. Cenni sulla definizione di delta e theta in termini di distribuzioni (Rossetti 6.1, 6.3, 6.4 senza dimostrazioni, Cicogna 4.11)

04/05: 
- Trasformata di Fourier: definizione come limite continuo di una serie di Fourier, primi esempi (lorentziana, gradino, gaussiana),  

05/05:  
- Convergenza dell'antitrasformata di Fourier e proprietà: linearità, parità, trasformata della derivata, derivata della trasformata, comportamento asintotico, convoluzione  

06/05: 
- Identità di Parseval, traslazione, moltiplicazione per esponenziale (Rossetti 7.1, Cicogna 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, gli altri paragrafi del Cicogna richiedono nozioni relative agli spazi vettoriali) e introduzione alla soluzione di equazioni differenziali mediante trasformata di Fourier 

07/05: 
- Equazione delle onde, equazione del calore, circuiti RL e RLC, funzione di Green e sue proprietà, esercizi (Cicogna 4.9, 4.10, 4.12, 4.22) 

11/05: 
- Spazi vettoriali su campo complesso: somma, moltiplicazione per scalare, elemento neutro, elemento opposto, dimensionalità, sottospazio 
- Definizione di prodotto scalare e ortogonalità 
- Notazione di Dirac (bra, ket) e spazio duale (spazio dei funzionali lineari) 
- Disuguaglianza di Schwarz
- Spazio metrico (distanza e sue proprietà) (Rossetti 2.1) 

12/05: 
- Algebra degli operatori lineari. Definizione e proprietà elementari  
- Operatore inverso, hermitiano coniugato (o aggiunto), hermitiano (o autoaggiunto), unitario 
- Azione di un operatore su un bra (Rossetti da 2.2.1 a 2.2.6)

13/05: 
- Definizione operatori in termini di bra e ket 
- Proiettori 
- Autovalori e autovettori di un operatore hermitiano 
- Base di uno spazio vettoriale 
- Rappresentazione in termini di vettori e matrici di bra, ket, operatore, aggiunto (Rossetti da 2.2.7 a 2.2.9, 2.3, 2.4) 

18/05: 
- Cambiamenti di base: trasformazione di ket, bra, operatori
- Componenti covarianti e controvarianti
- Basi ortonormali e matrici unitarie (Rossetti 2.5, 2.6) 
- Richiamo su equazione agli autovalori, autovettori e basi ortonormali. Operatori normali 

19/05: 
- Operatori normali e esistenza di un SONC di autovettori 
- Diagonalizzazione simultanea di operatori normali (Rossetti 2.7, 2.8) 
- Sistemi di equazioni differenziali come problema agli autovalori: trasformatore, molecola CO2, teoria delle piccole oscillazioni 

20/05: 
- Spazio delle funzioni come spazio vettoriale di dimensione infinita 
- Definizione di prodotto scalare e verifica delle proprietà 
- Norma indotta dal prodotto scalare e disuguaglianza di Schwarz.  
- Cenni sull'integrale di Lebesgue e definizione dello spazio L^2(a,b).  
- Insieme infinito (numerabile) di funzioni ortonormali , sviluppo in serie generalizzata di Fourier, disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval 
(Rossetti da 3.1 a 3.9 e Cicogna da 2.6 a 2.12 contengono molto più di quello che abbiamo detto a lezione) 
 

21/05:  
- Convergenza in media quadratica dello sviluppo in serie generalizzata di Fourier 
- Completezza dello spazio L^2 (teorema di Fischer-Riesz) e definizione di spazio di Hilbert 
- Polinomi ortogonali: introduzione e concetti generali.  
- Polinomi di Legendre e di Hermite 
(Rossetti 4, ma è sterminato e usatelo solo come riferimento) 

25/05: 
- Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatore continuo e operatore limitato 
- Teorema di equivalenza tra continuità e limitatezza 
- Norma di un operatore 
- Operatore aggiunto, hermitiano e autoaggiunto 

Prossimi argomenti: Operatori unitari, proiettori, autovalori, autovettori 

Ricevimento

Passate quando volete in ufficio (2A24): se vi va male, vi chiedo di riprovare dopo 15/30 minuti.

Volendo proprio fissare un giorno, facciamo il mercoledì tra le 14:00 e le 15:00.

Modalità d'esame

• Prova scritta: 2 prove parziali su metà programma (fine aprile, inizio giugno), oppure prova totale (vedi calendario su Esse3)
• Prova orale: 2 orali separati su metà programma dopo i singoli parziali, oppure orale totale sull'intero programma (dopo il secondo parziale o dopo lo scritto)
• Modalità orale: eventuale discussione dello scritto + 1 argomento a piacere (teoria o applicazioni fisiche) per ciascuna delle due parti del corso + 1 domanda (teoria) per ciascuna delle due parti del corso

Testi di riferimento

• C. Rossetti - Metodi matematici per la Fisica - Levrotto & Bella
• G. Cicogna - Metodi matematici della fisica - Springer
• C. Bernardini, O. Ragnisco, P.M. Santini - Metodi matematici della fisica - Carocci Editore