Titolo del corso: Introduzione alla teoria degli spazi vettoriali topologici

Tipologia: Triennale/Magistrale

CFU: 6

Obiettivi formativi: apprendimento dei concetti basilari e dei risultati fondamentali della teoria degli spazi vettoriali topologici reali con particolare attenzione agli spazi localmente convessi.

Prerequisiti: conoscenze di base di analisi reale, algebra lineare e topologia generale.

Programma 

• Richiamo di alcune nozioni di topologia generale, tra cui: filtri di intorni di un punto di uno spazio topologico, confronto tra topologie su uno stesso insieme, spazi topologici di Hausdorff, applicazioni continue tra spazi topologici.
• Proprietà fondamentali di uno spazio vettoriale topologico (TVS): caratterizzazione del filtro di intorni dell'origine di un TVS, Hausdorff TVS, spazi quoziente di un TVS, applicazioni lineari tra TVS e completezza di un TVS.
• Spazi vettoriali topologici di dimensione finita: caratterizzazione, proprietà e legame con TVS localmente compatti.
• Spazi localmente convessi: definizione tramite intorni dell'origine e tramite seminorme, spazi localmente convessi di Hausdorff, topologica localmente convessa più fine, topologia finita su spazi di dimensione numerabile, applicazioni lineari tra spazi localmente convessi
• Teorema di Hahn-Banach e le sue applicazioni a problemi di separazione di sottoinsiemi convessi e al problema dei momenti.
• Topologie sullo spazio duale di un TVS: studio di diverse topologie polari e teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki

Testi di riferimento: dispense della docente basate per lo più su

• G. Köthe, Topological vector spaces I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 159, New York: Springer-Verlag, 1969.
• H.H. Schaefer, M. P. Wolff, Topological vector spaces, II edition, Graduate Texts in Mathematics, 3. Springer-Verlag, New York,1999.
•  F. Trèves, Topological Vector Spaces, distributions, and kernels, Academic Press, 1967.

Modalità di apprendimento. Lo studente si prepara in maniera autonoma sul materiale didattico fornito dalla docente, che è disponibile per chiarimenti nell'orario di ricevimento o previo appuntamento. Gli studenti avranno anche la possibilità (non l'obbligo) di seguire 28 ore di lezione tenute dalla docente in lingua inglese su alcuni degli argomenti del corso in modalità digitale nel mese di Settembre 2021 (le lezioni verranno anche videoregistrate). Maggiori informazioni sulle lezioni e/o il materiale didattico saranno forniti agli studenti interessati, che dovranno contattare la docente per email all'indirizzo maria.infusino@unica.it.

Modalità di verifica. La prova orale consiste nell’esposizione di un argomento a scelta dello studente seguita da alcune domande della docente. Compatibilmente con le indicazioni d'Ateneo sulle modalità di svolgimento degli esami orali in funzione dell'evoluzione dell'emergenza COVID-19, gli esami si terranno in presenza alla lavagna oppure in modalità digitale.