03/03/2026

1) Data (a_n), diciamo che +∞ ha la proprietà P, e scriviamo P(+∞), se per ogni M reale l'insieme {n : a_n≥M} è infinito. Diciamo che +∞ ha la proprietà Q, e scriviamo Q(+∞), se esiste una sottosuccessione a_{n_k} che tende a +∞. Dimostrare che P(+∞) ⟺ Q(+∞).

2) Data (a_n), diciamo che -∞ ha la proprietà P, e scriviamo P(-∞), se per ogni M reale l'insieme {n : a_n≤M} è infinito. Diciamo che -∞ ha la proprietà Q, e scriviamo Q(-∞), se esiste una sottosuccessione a_{n_k} che tende a -∞. Dimostrare che P(-∞) ⟺ Q(-∞).

3)* Data (a_n), diciamo che un numero reale x_0 ha la proprietà Q, e scriviamo Q(x_0), se esiste una sottosuccessione a_{n_k} → x_0. Diciamo che x_0 ha la proprietà R, e scriviamo R(x_0), se esiste una successione n_k → +∞, non necessariamente monotòna, tale che la successione composta a_{n_k} → x_0. Stabilire se le proprietà Q ed R sono equivalenti.

4) Dati due insiemi numerici limitati A e B, poniamo a = sup A, b = sup B, s = sup A∪B. Verificare che s = max{a,b}. Suggerimento: verificare che il max{a,b} è un maggiorante per l'insieme A∪B, e che s è un maggiorante sia per l'insieme A che per l'insieme B, quindi trarre la conclusione.

5) Definiamo max{+∞,b}=+∞ per ogni b reale, e anche per b=+∞. Definiamo similmente max{a,+∞}. Svolgere l'esercizio precedente senza supporre la limitatezza degli insiemi A e B.

05/03/2026

6)* Trovare una successione numerica i cui limiti inferiore e superiore l',l" siano distinti, e l'insieme di aderenza sia l'intervallo [l',l"]. Suggerimento: vedere l'esercizio 3.34 in [MS, pag. 136].

7) Se il limite superiore di una successione numerica (a_n) è -∞, verificare che -∞ ha la proprietà Q definita come nell'esercizio 2. Suggerimento: partire dalla disuguaglianza a_n ≤ s_n, dove s_n denota l'estremo superiore definitivo.

10/03/2026

8) Consideriamo l'applicazione i:ℕ→ℕ definita come segue. Se k è multiplo di 3, poniamo i(k)=4k/3; se, invece, k è congruo ad 1 modulo 3, poniamo i(k)=4[k/3]+2 essendo [k/3] la parte intera di k/3. Infine, se k è congruo a 2 modulo 3, poniamo i(k)=2[k/3]+1. Scrivere la funzione inversa di i. Suggerimento: indicata con n la variabile indipendente, distinguere tre casi: che n sia multiplo di 4, che n sia pari ma non multiplo di 4, e che n sia dispari.

9) Ideare un riordinamento della serie i cui termini sono le potenze (-1)^n, in modo tale da ottenere una serie divergente a -∞.

10) Stabilire se esiste un riordinamento della serie i cui termini sono le potenze (-1)^n, tale da ottenere una serie convergente ad una somma finita. Suggerimento: fare appello alla classica condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.

17/03/2026

11) Sappiamo che, se una funzione i:ℕ→ℕ è biunivoca, allora i(k)→+∞ per k→+∞. Si può giungere alla stessa conclusione supponendo soltanto che i sia iniettiva? E se i è suriettiva?

12) Determinare i termini a_n di una serie numerica in modo tale che: la somma delle parti positive sia infinita, quella delle parti negative sia pure infinita, il termine a_n tenda a zero per n→+∞, e la serie data non sia convergente ad una somma finita.

19/03/2026

13) Consideriamo due funzioni a_1,a_0 di classe C°([a,b]), e indichiamo con y_1,y_2 due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione lineare omogenea y" + a_1 y' + a_0 y = 0. Consideriamo la matrice quadrata M di ordine 2 le cui righe sono (y_1(a),y_2(a)) e (y_1(b),y_2(b)). Stabilire se si possono scegliere i coefficienti a_1,a_0 e le soluzioni y_1,y_2 in modo tale che M abbia rango nullo.

31/03/2026

14) Consideriamo una soluzione di classe C²([0,π]) dell'equazione y" + λy = 0 nell'intervallo [0,π] soddisfacente le condizioni di periodicità y(0)=y(π) e y'(0)=y'(π). Stabilire se esiste una funzione f∈C²(ℝ), periodica di periodo π, che soddisfa la medesima equazione in tutto l'intervallo (-∞,+∞) e tale che f=y in [0,π].