{\rtf1\ansi\ansicpg1252\cocoartf2867
\cocoatextscaling0\cocoaplatform0{\fonttbl\f0\froman\fcharset0 Times-Bold;\f1\froman\fcharset0 Times-Roman;\f2\froman\fcharset0 Times-Italic;
}
{\colortbl;\red255\green255\blue255;\red0\green0\blue0;}
{\*\expandedcolortbl;;\cssrgb\c0\c0\c0;}
{\*\listtable{\list\listtemplateid1\listhybrid{\listlevel\levelnfc23\levelnfcn23\leveljc0\leveljcn0\levelfollow0\levelstartat1\levelspace360\levelindent0{\*\levelmarker \{disc\}}{\leveltext\leveltemplateid1\'01\uc0\u8226 ;}{\levelnumbers;}\fi-360\li720\lin720 }{\listname ;}\listid1}
{\list\listtemplateid2\listhybrid{\listlevel\levelnfc23\levelnfcn23\leveljc0\leveljcn0\levelfollow0\levelstartat1\levelspace360\levelindent0{\*\levelmarker \{disc\}}{\leveltext\leveltemplateid101\'01\uc0\u8226 ;}{\levelnumbers;}\fi-360\li720\lin720 }{\listname ;}\listid2}
{\list\listtemplateid3\listhybrid{\listlevel\levelnfc23\levelnfcn23\leveljc0\leveljcn0\levelfollow0\levelstartat1\levelspace360\levelindent0{\*\levelmarker \{disc\}}{\leveltext\leveltemplateid201\'01\uc0\u8226 ;}{\levelnumbers;}\fi-360\li720\lin720 }{\listname ;}\listid3}}
{\*\listoverridetable{\listoverride\listid1\listoverridecount0\ls1}{\listoverride\listid2\listoverridecount0\ls2}{\listoverride\listid3\listoverridecount0\ls3}}
\paperw11900\paperh16840\margl1440\margr1440\vieww11520\viewh8400\viewkind0
\deftab720
\pard\pardeftab720\sa240\partightenfactor0

\f0\b\fs24 \cf0 \expnd0\expndtw0\kerning0
Programma svolto A.A. 2024/2025 (96h - 12 CFU)
\f1\b0 \

\f0\b Analisi complessa
\f1\b0 \
\pard\tx220\tx720\pardeftab720\li720\fi-720\partightenfactor0
\ls1\ilvl0\cf0 \kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Rappresentazioni dei numeri complessi (cartesiana, polare, esponenziale, matriciale) (
\f2\i qualsiasi testo
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Operazioni elementari con i numeri complessi, propriet\'e0 e interpretazioni geometriche (
\f2\i qualsiasi testo
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
"Prodotto scalare" tra numeri complessi\'a0(
\f2\i qualsiasi testo
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Elevamento a potenza e radice n-esima di un numero complesso, radici n-esime dell'unit\'e0 (
\f2\i qualsiasi testo
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Applicazioni\'a0fisiche: cinematica in coordinate polari, moto di precessione (
\f2\i cfr. Bernardini 1.2
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Polidromia funzioni di variabile complessa: ramo principale, passaggio ad altri rami, punti\'a0di diramazione, tagli, esempi (potenze a esponente razionale) (
\f2\i Cicogna 3.12, Rossetti 1.21.2 limitandosi alle nozioni esposte a lezione per il momento
\f1\i0 )\'a0\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Punto all'infinito, sfera di Riemann (
\f2\i Bernardini 1.3, Cicogna 3.10 solo definizione per il momento
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Definizione di funzione di variabile complessa, parte reale e parte immaginaria, limiti\'a0e continuit\'e0 (
\f2\i Rossetti 1.1.1, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Derivabilit\'e0 di una funzione complessa: condizioni di Cauchy-Riemann e definizione di funzione analitica/olomorfa (
\f2\i Rossetti 1.1.2, Cicogna 3.1, Bernardini 1.3.4
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Funzioni elementari di variabile complessa: funzioni algebriche (somme, prodotti, potenze, quozienti, radici) e trascendenti (esponenziale, logaritmo, trigonometriche, iperboliche) (
\f2\i Rossetti 1.1.3, Bernardini 1.3.7
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Funzioni analitiche e funzioni armoniche, trasformazioni conformi, applicazione fisica per campi conservativi (
\f2\i Cicogna 3.14, Rossetti 1.5.1, 1.5.2, Bernardini 1.3.5, 1.3.6, 1.5.1, 1.5.2
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Integrazione in campo complesso: curve sul piano complesso (regolare, regolare a tratti, chiusa, semplice, equivalenza per omotopia), integrale di linea, integrale di funzione complessa di variabile reale e di variabile complessa (
\f2\i Rossetti 1.1.6, Bernardini 2.1
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Disuguaglianza di Darboux, teorema di Cauchy, corollario al teorema di Cauchy e definizione di primitiva, teorema di Morera, rappresentazione integrale di Cauchy, rappresentazione integrale per derivate\'a0(
\f2\i Rossetti 1.1.7, 1.1.8, Cicogna 3.3, 3.4, Bernardini 2.2(esclusa dimostrazione di Goursat), 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy: teorema di Liouvillle, teorema fondamentale dell'algebra, teorema della media, teorema del massimo del modulo (
\f2\i stessi capitoli del punto precedente
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Applicazioni fisiche integrazione funzioni complesse: circuitazione e flusso del\'a0campo vettoriale associato (esempi del filo infinito percorso da corrente e carica puntiforme sul piano)\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Successioni e serie di funzioni reali: convergenza puntuale e suoi svantaggi, convergenza uniforme (con continuit\'e0 del limite, derivabilit\'e0, integrabilit\'e0), criterio di Weierstrass per la convergenza uniforme, serie di potenze, raggio di convergenza e criteri per determinarlo (
\f2\i dispense di Analisi 2
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Successioni e serie sul piano complesso: estensione risultati reali al campo complesso, teorema di Weierstrass per successioni di funzioni analitiche, serie di potenze, serie di Taylor-Laurent (
\f2\i Rossetti 1.12, Cicogna 3.5, Bernardini 3.1, 3.2.1, 3.4.1, 3.4.2
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Zeri, singolarit\'e0 polari e singolarit\'e0 essenziali di una funzione analitica, teorema di Weierstrass per singolarit\'e0 essenziali, studio del punto all'infinito (
\f2\i Rossetti 1.13, Cicogna 3.6, 3.7, 3.8, Bernardini 1.6.1,1.6.2
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Definizione di residuo, teorema dei residui, intepretazione fisica in termini di sorgenti del campo vettoriale associato, tecniche di calcolo dei residui, residuo nel punto all'infinito (
\f2\i Rossetti 1.14, Cicogna 3.9, 3.10, 3.11
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Calcolo di integrali reali tramite il teorema dei residui: integrali trigonometrici, integrali sull'intero asse reale e lemma di Jordan, integrali riconducibili a integrali gaussiani, singolarit\'e0 sul cammino di integrazione e parte principale di un integrale (
\f2\i Rossetti 1.17, 1.18, 1.19, Cicogna 3.9, 3.13
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Continuazione analitica alla Borel e alla Weierstrass (
\f2\i Rossetti 1.20
\f1\i0 )\
\ls1\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Integrali lungo tagli, richiami sulle funzioni polidrome e cenni sulle superfici di Riemann\'a0(
\f2\i Rossetti 1.21, Cicogna 3.12
\f1\i0 )\'a0\
\pard\pardeftab720\sa240\partightenfactor0

\f0\b \cf0 \
Analisi armonica
\f1\b0 \
\pard\tx220\tx720\pardeftab720\li720\fi-720\partightenfactor0
\ls2\ilvl0\cf0 \kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Applicazioni fisiche: onde elastiche e equazione di D'Alembert, circuito RLC serie con forzante esterna (necessit\'e0 dello sviluppo in serie)\'a0(
\f2\i Cicogna 2.1, 2.2
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Serie di Fourier con esponenziali complessi e con funzioni trigonometriche, calcolo dei coefficienti in entrambi i casi, cambio variabili di integrazione (intervallo di periodicit\'e0), interpretazione in termini di generalizzazione di spazio vettoriale (
\f2\i Cicogna 2.3, Rossetti 5.1, 5.2
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Esempi: funzione gradino (sia con esponenziali complessi sia con seni/coseni), f(x)=x, f(x)=|x| (
\f2\i Rossetti 5.5
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Convergenza puntuale della serie di Fourier: lemma di Riemann e teorema di Dirichlet (
\f2\i Rossetti 5.3
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Identit\'e0 di Parseval (
\f2\i i vari testi la fanno nella parte dedicata\'a0agli spazi vettoriali, dunque dovrete basarvi sulla trattazione fatta a lezione e sulle applicazioni fatte in Rossetti 5.5
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Ulteriori esempi (|sen x|, exp(ax), x^2/2) e nuova discussione delle soluzioni della corda vibrante a partire dalla configurazione iniziale "pizzicata" (
\f2\i Cicogna 2.4
\f1\i0 )\'a0\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Delta di Dirac: definizione, approssimanti, propriet\'e0. Theta di Heaviside. Cenni sulla definizione di delta e theta in termini di distribuzioni\'a0(
\f2\i Rossetti 6.1, 6.3, 6.4 senza dimostrazioni, Cicogna 4.11
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Trasformata di Fourier: definizione come limite continuo di una serie di Fourier, primi esempi (lorentziana, gradino, gaussiana), convergenza dell'antitrasformata di Fourier, propriet\'e0 della trasformata di Fourier: linearit\'e0, parit\'e0, trasformata della derivata e derivata della trasformata, comportamento asintotico, convoluzione, identit\'e0 di Parseval, traslazione, moltiplicazione per esponenziale\'a0(
\f2\i Rossetti 7.1, Cicogna 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, gli altri paragrafi del Cicogna richiedono nozioni relative agli spazi vettoriali
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Soluzione equazioni differenziali mediante trasformata di Fourier (equazione del calore, circuiti RL e RLC),\'a0funzione di Green e sue propriet\'e0, cenni sulle relazioni di dispersione (
\f2\i Cicogna 4.9, 4.10, 4.12, 4.14, 4.22
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Trasformata di Laplace: definizione, ascissa di convergenza, analiticit\'e0, antitrasformata. Primi esempi: trasformate di polinomi, trigonometriche, esponenziali, iperboliche. Propriet\'e0 della trasformata di Laplace: linearit\'e0, trasformata della derivata, trasfomrata dell'integrale, traslazione, moltiplicazione per esponenziale, convoluzione. (
\f2\i Rossetti 7.2, Cicogna 4.17, 4.18, 4.19, 4.20
\f1\i0 )\
\ls2\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Soluzione equazioni differenziali mediante trasformata di Laplace (RLC con transitorio, equazione di D'Alembert) (
\f2\i Cicogna 4.22
\f1\i0 )\
\pard\pardeftab720\sa240\partightenfactor0

\f0\b \cf0 \
Analisi funzionale
\f1\b0 \
\pard\tx220\tx720\pardeftab720\li720\fi-720\partightenfactor0
\ls3\ilvl0\cf0 \kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Spazi vettoriali su campo complesso: somma, moltiplicazione per scalare, elemento neutro, elemento opposto, dimensionalit\'e0, sottospazio. Definizione di prodotto scalare e ortogonalit\'e0. Notazione di Dirac (bra, ket) e spazio duale (spazio dei funzionali lineari). Disuguaglianza di Schwarz. Spazio unitario e spazio metrico (
\f2\i Rossetti 2.1
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Algebra degli operatori lineari. Definizione e propriet\'e0 elementari. Operatore inverso. Azione di un operatore su un bra. Operatore hermitiano coniugato o aggiunto. Operatore hermitiano o autoaggiunto. Operatore unitario (
\f2\i Rossetti da 2.2.1 a 2.2.6
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Definizione operatori in termini di bra e ket, proiettori, autovalori e autovettori di un operatore hermitiano, base di uno spazio vettoriale, rappresentazione in termini di vettori e matrici di bra, ket, operatore, operatore\'a0aggiunto (
\f2\i Rossetti da 2.2.7 a 2.2.9, 2.3, 2.4
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Cambiamenti di base: trasformazione di ket, bra, operatori. Componenti covarianti e controvarianti. Basi ortonormali e matrici unitarie (
\f2\i Rossetti 2.5, 2.6
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Richiamo su equazione agli autovalori, autovettori e basi ortonormali. Operatori normali e diagonalizzazione simultanea di operatori normali (
\f2\i Rossetti 2.7, 2.8
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Spazio delle funzioni come spazio vettoriale di dimensione infinita, definizione di prodotto scalare e verifica delle propriet\'e0, norma indotta dal prodotto scalare, disuguaglianza di Schwarz. Cenni sull'integrale di Lebesgue come generalizzazione/estensione dell'integrale di Riemann, funzioni sommabili secondo Lebesgue e definizione dello spazio L^2(a,b). Insieme infinito (numerabile) di funzioni ortonormali , sviluppo in serie generalizzata di Fourier, disuguaglianza di Bessel, definizione di sistema ortonormale completo (base) in base a identit\'e0 di Parseval, convergenza in media quadratica dello sviluppo. Completezza dello spazio L^2 (teorema di Fischer-Riesz) e definizione di spazio di Hilbert (
\f2\i Rossetti 3.1, 3.3, 3.4 esclusa numerabilit\'e0, 3.5 solo il primo sottocapitolo, 3.7 solo enunciato, 3.9
\f1\i0 ) (
\f2\i Cicogna da 2.6 a 2.12 contiene quasi tutto ci\'f2 che abbiamo detto, 2.13 e 2.14\'a0vanno letti facendo molti slalom
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatore\'a0continuo\'a0e operatore limitato\'a0(con esempi), equivalenza tra continuit\'e0 e limitatezza, norma di un operatore, operatore aggiunto, hermitiano e autoaggiunto, trasformazioni unitarie, autovalori e autovettori, teorema spettrale\'a0(
\f2\i Cicogna 2.16, 2.17, 2.19, 2.20
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Polinomi ortogonali: introduzione e concetti generali. Polinomi di Legendre: costruzione esplicita a partire da sistema delle potenze, formula di Rodrigues, equazione differenziali, funzione generatrice, relazioni di ricorrenza. Applicazioni: laplaciano in coordinate sferiche, armoniche sferiche come base di L^2 sulla superficie di una sfera. Polinomi di Hermite:\'a0costruzione esplicita a partire da sistema delle potenze, formula di Rodrigues, equazione differenziali, funzione generatrice, relazioni di ricorrenza. (
\f2\i potrei dirvi Rossetti capitolo 4, ma dovete fare PARECCHI slalom
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti non costanti: soluzioni tramite problema di Sturm-Liouville. Definizione dell'operatore lineare autoaggiunto, propriet\'e0 rilevanti degli autovalori e delle autofunzioni, casi particolari (Hermite, Legendre, Laguerre, Bessel) (
\f2\i Cicogna 2.21, 2.23
\f1\i0 )\
\ls3\ilvl0\kerning1\expnd0\expndtw0 {\listtext	\uc0\u8226 	}\expnd0\expndtw0\kerning0
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti non costanti: soluzioni tramite\'a0sviluppo in serie (metodo di Frobenius). Punti regolari e punti fuchsiani, relazioni di ricorrenza per i coefficienti, teorema di Fuchs sulle soluzioni in corrispondenza dei punti singolari. Esempi: oscillatore armonico semplice, equazione di Hermite, equazione di Bessel (
\f2\i Rossetti 8.5, ma anche qui c'\'e8 molto di pi\'f9 di quanto fatto in aula
\f1\i0 )\
}