Analisi Matematica 3 Prof. Antonio Greco Alcuni esercizi assegnati a lezione On Tue, 19 Mar 2024 at 12:42, Antonio Greco wrote: Oggi ho spiegato lo spazio metrico C¹([a,b]) con la distanza d(x,y) = max|x(t)-y(t)| + max|x'(t)-y'(t)| ed ho lasciato due esercizi: 1. Verificare che anche la funzione d_1(x,y) = max(|x(t)-y(t)| + |x'(t)-y'(t)|) soddisfa gli assiomi della distanza; 2. Verificare che le distanze d e d_1 sono equivalenti. On Wed, 20 Mar 2024 at 16:37, Antonio Greco wrote: Oggi ho spiegato la continuità delle applicazioni F aventi per dominio uno spazio metrico X e per codominio uno spazio metrico Y, la condizione di Lipschitz, e la definizione di contrazione, lasciando i seguenti esercizi: 1. Consideriamo la funzione F avente per dominio lo spazio C¹([a,b]) con la metrica canonica, e per codominio lo spa- zio C°([a,b]) con la metrica canonica, definita da F(f) = f'. Verificare che si tratta di una funzione continua. 2. Consideriamo la funzione F avente per dominio lo spazio C°([a,b]) con la metrica canonica, e per codominio lo spa- zio C¹([a,b]) con la metrica canonica, definita indicando con F(f) la funzione g(x) = integrale di f sull'intervallo [a,x]. Ho dimostrato a lezione che F soddisfa la condizione di Lip- schitz con la costante C = b-a+1. Chiedo di dimostrare che questa è la costante minima: lo si può vedere confrontando la funzione costante f_1=0 con la funzione costante f_2(x) = 1. 3. Consideriamo la funzione F avente per dominio e per codo- minio lo spazio C°([a,b]) con la metrica canonica, definita indicando con F(f) la funzione g(x) = integrale di f sull'in- tervallo [a,x]. Determinare la lunghezza b-a affinché F sia una contrazione. Data: Sat, 23 Mar 2024 19:39:49 +0100 Nella lezione di venerdì ho assegnato i seguenti esercizi. 1. Scegliere uno spazio metrico completo X e definire una funzione lipschitziana F: X→X avente almeno due punti fissi 2. Scegliere uno spazio metrico completo X e definire una funzione lipschitziana F: X→X priva di punti fissi 3. Scegliere un opportuno spazio metrico X e definire una contrazione F: X→X priva di punti fissi. Data: Wed, 03 Apr 2024 20:06:24 +0200 Sto spiegando le serie di potenze ed ho assegnato questo esercizio: integrando termine a termine la serie di Maclaurin della funzione f(x) = sen x si può trovare una serie che esprime l'integrale di sen x dx su di un qualunque intervallo chiuso e limitato [a,b]. Chiedo di verificare il risultato procedendo in questo modo: al primo membro si integra sen x dx usando la primitiva -cos x, ottenendo -cos b + cos a. Poi si esprimono cos b e cos a mediante la serie di Maclaurin di cos x. Facendo la differenza tra le serie (che si può fare sotto la sola ipotesi della convergenza pun- tuale) si dovrebbe trovare la stessa serie ottenu- ta all'inizio. Data: Fri, 05 Apr 2024 14:27:03 +0200 Ho chiesto di dimostrare che le derivate di ordine pari della funzione f(x) = arctg x sono funzioni dispari e si annullano nell'origine (basta derivare l'identità f(x) = -f(-x)). Data: Tue, 09 Apr 2024 13:39:17 +0200 Oggi ho spiegato le serie di potenze nel campo dei nu- meri complessi, ed ho assegnato questo esercizio: 1. Verificare che la funzione esponenziale è periodica di periodo 2πi, cioè che exp(z+2kπi) = exp(z). Basta usare le identità exp(z) = cos(z) + i sen(z) (che ho dimostrato) e exp(z+w) = exp(z) exp(w) (che possiamo prendere per buona). Poi ho spiegato gli spazi vettoriali normati, ed ho asse- gnato questi esercizi: 2. Posto y(x) = (1 - x^p)^(1/p) con p∈(1,+∞), verificare che y"(x) < 0 per x∈(0,1). 3. Verificare che la norma-1 e la norma-infinito in ℝ^n sod- disfano la disuguaglianza triangolare. Data: Wed, 10 Apr 2024 18:22:54 +0200 Ho chiesto agli studenti di verificare per esercizio che la norma canonica dello spazio C^k([a,b]) soddisfa gli assiomi. Infine ho assegnato un esercizio sulla convergenza uniforme: consideriamo una funzione f ∈ C°([-π,π]), e supponiamo che la sua serie di Fourier converga uniformemente ad f sull'inter- vallo [-π,π]. Ho osservato che in tal caso si ha f(-π) = f(π). Ora consideriamo il prolungamento g della funzione f a tutto l'asse reale, definito ponendo g(x) = f(x) se x∈[-π,π), e g(x) = f(y) se y∈[-π,π) e x-y = 2kπ per un certo intero k. Dimostra- re che la stessa serie converge a g uniformemente su tutto l'as- se reale (indicata con S_n(x) la somma ridotta, basta osservare che max_ℝ |g(x)-S_n(x)| = max_[-π,π] |f(x)-S_n(x)|). Data: Mon, 15 Apr 2024 17:27:14 +0200 Nella lezione di venerdì scorso ho invitato gli studenti a determinare per esercizio la serie di Fourier della fun- zione f(x) = cos 2x: l'esercizio serve solo per chiarire che in questo semplice caso, e nei casi analoghi, la serie di Fourier si riduce alla funzione data. Data: Tue, 16 Apr 2024 15:23:55 +0200 Oggi ho verificato che i coefficienti di Fourier a_k di una funzione continua f sono legati ai coefficienti β_k della derivata f' (supponendo che esista e sia continua a tratti) dalla relazione ka_k = -β_k per ogni k≥1. Per procedere, ho suddiviso l'intervallo di integrazione [-π,π] in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali ho integrato per parti. Ho lasciato per esercizio l'espressione di b_k. In gene- rale si trova kb_k = α_k +(-1)^k (f(-π)-f(π))/π, però, supponendo f periodica di periodo 2π, si ottiene l'e- spressione più semplice kb_k = α_k per ogni k≥1. Ho anche chiesto di verificare che se due serie numeriche, a termini rispettivamente a_k e b_k, sono convergenti, allora lo è anche la serie i cui termini sono c_k = a_k + b_k, e la somma di quest'ultima serie è uguale alla somma delle due precedenti (basta applicare la definizione). Ho determinato esplicitamente lo sviluppo di Fourier di f(x) = x^2: si trova a_0=π²/3 e k²a_k = 4(-1)^k per k≥1. Ho invitato gli studenti a scrivere l'uguaglianza di Par- seval per questa funzione: dovrebbero dedurne che la som- ma della serie armonica generalizzata con esponente 4 è π^4 diviso 90. Infine, ho proposto di determinare i coefficienti di Fou- rier della funzione f(x)=|x|, che sono: a_0=π e a_{2n+1} = -4/(π(2n+1)²). Si trova a_{2n}=0 per ogni n. Data: Wed, 17 Apr 2024 16:12:05 +0200 Sto svolgendo la dimostrazione della convergenza puntuale della serie di Fourier, ed ho assegnato questo esercizio: se f ∈ C°(ℝ) è periodica di periodo T, allora per ogni x∈ℝ l'integrale di f(t) sull'intervallo [x-T/2, x+T/2] è uguale a quello sull'intervallo [-T/2, T/2]. Per lo svolgimento, io prenderei innanzitutto il punto y nell'in- tervallo [-T/2, T/2) tale che x-y = kT per un intero k. Con il cambiamento di variabile s = t-kT, l'integrale di f(t) dt sul- l'intervallo [x-T/2, x+T/2] diventa l'integrale di f(s+kT) ds sull'intervallo [y-T/2, y+T/2] il quale, per periodicità, è uguale all'integrale di f(s) ds sull'intervallo [y-T/2, y+T/2]. Dopodiché distinguerei alcuni casi: se y=0 la conclusione è im- mediata, altrimenti dobbiamo fare un taglia-e-cuci sfruttando l'additività dell'integrale. Supponiamo y∈(0,T/2). In questo caso scriviamo l'integrale di f(s) ds sull'intervallo [y-T/2, y+T/2] come somma di due inte- grali: il primo esteso all'intervallo [y-T/2, T/2] ed il secon- do sull'intervallo [T/2, y+T/2]. Solo in questo secondo inte- grale farei la sostituzione s-T = τ, trasformandolo nell'in- tegrale di f(τ+T) sull'intervallo [-T/2, y-T/2]. Questo, per periodicità, coincide con l'integrale di f(s) ds sul medesimo intervallo e perciò, sommato al primo integrale, dà l'inte- grale di f(s) ds sull'intervallo [-T/2, T/2] come volevasi dimostrare. Se y∈[-T/2, 0) il ragionamento è analogo. Data: Wed, 24 Apr 2024 21:11:34 +0200 Questa settimana ho dato la definizione della misura esterna di Lebesgue in dimensione 1, ed ho chiesto agli studenti di trovare per esercizio la misura esterna dell'intervallo [a,b) e quella dell'intervallo (a,b]. Gli studenti sono autorizzati a scegliere fra la definizione data dal libro di testo e quella data inizialmente da Lebesgue, che si può trovare anche alla pagina L12 della mia dispensa https://web.unica.it/static/resources/cms/documents/Lebesgue_misura_22.pdf Data: Mon, 29 Apr 2024 14:42:55 +0200 Oggi ho spiegato la misura esterna n-dimensionale, ed ho chiesto agli studenti di determinare per esercizio la mi- sura esterna bidimensionale dell'insieme X = { (t,t)∈ℝ² : t∈[0,1] }, che è il segmento avente per estremi l'origine ed il punto (1,1). Ovviamente l'insieme X ha misura di Pe- ano-Jordan nulla. Data: Thu, 02 May 2024 07:50:38 +0200 L'esercizio successivo sarebbe quello di sta- bilire se l'insieme E = { (t,t)∈ℝ² : t∈ℝ } è misurabile, ed in caso affermativo determinarne la misura. Data: Fri, 03 May 2024 12:21:08 +0200 Oggi ho spiegato il legame fra la misura di Lebesgue e quella di Peano-Jordan, e ho proposto agli studenti di determinare per esercizio la misura esterna unidimensionale di Lebesgue e quella di Peano-Jordan dell'insieme E=ℚ∩[0,1]. In effetti la prima si ottiene con il procedimento che ho spie- gato il 22 aprile, basato su di un ricoprimento con intervalli di ampiezza ε/2^k. Per la seconda basta osservare che se un plurintervallo P contiene E, allora, essendo P chiuso, esso contiene anche la chiusura di E che è l'intervallo [0,1]. Data: Wed, 08 May 2024 09:24:49 +0200 Ieri ho dimostrato il teorema della convergenza monotona, e ho spiegato che la derivata di una funzione è misurabile. Come esercizio ho chiesto di dimostrare che se una funzione φ: E→ℝ è misurabile, allora lo è anche la funzione ψ(x)=φ(x) per x∈E, ψ(x)=0 per x ∈ ℝ^n \ E (segue facilmente dalla defi- nizione). Si potrebbe anche dimostrare che il prodotto cφ è misurabile per ogni costante c∈ℝ. Ho anche accennato al fatto che per ogni funzione misurabile f≥0 e per ogni c∈[0,+∞) l'integrale di cf è uguale al prodot- to di c per l'integrale di f: lo si verifica direttamente se f è una funzione semplice, altrimenti si prende l'estremo su- periore degli integrali delle funzioni semplici s(x)≤f(x) e la tesi segue dal fatto che ad ogni s≤f corrisponde cs≤cf. Data: Thu, 30 May 2024 15:28:23 +0200 Ho spiegato i teoremi di Fubini e di Tonelli, ed ho assegnato i seguenti esercizi. 1. Indicato con G_0 ⊂ ℝ un insieme non misurabile, trovare la misura esterna bidimensionale dell'in- sieme G_0 x {0} ⊂ ℝ² (basta osservare che G_0 x {0} ⊂ ℝ x {0}). 2. Indichiamo con G_0 ⊂ (0,1) un insieme non misu- rabile, e con X = { (x,y)∈ℝ² : x²+y²≤1 } il disco unitario in posizione canonica. Stabilire se l'in- sieme X' = { (x,y)∈ℝ² : x²+y²≤1, y≠0 } ∪ G_0 x {0} ⊂ ℝ² è misurabile, ed in caso affermativo determinarne la misura. 3. Per ogni y∈ℝ stabilire se l'insieme E_y = { x ∈ℝ : (x,y) ∈ X' } ⊂ ℝ è misurabile, ed in caso af- fermativo determinarne la misura (unidimensionale). 4. Determinare la misura di Lebesgue (unidimensio- nale) dell'insieme { y∈ℝ : E_y non è misurabile }. 5. Consideriamo la funzione f(x,y) = (sgn x)/y per x ∈ (-1,0) ∪ (0,1) e y ∈ (0,1). a) Stabilire se f è integrabile secondo Lebesgue, ed in caso afferma- tivo calcolarne l'integrale. b) Per ogni y ∈ (0,1) calcolare l'integrale di f(x, y) dx sul dominio (-1,0) ∪ (0,1). Indicato con Φ(y) il valore dell'integrale, calcolare l'integrale di Φ(y) dy sull'intervallo (0,1). c) Per ogni x ∈ (-1,0) ∪ (0,1) calcolare l'integrale di f(x,y) dy sull'intervallo (0,1). Indicato con Ψ(x) il valore dell'integrale, stabilire se la funzione Ψ(x) è integrabile sul dominio (-1,0) ∪ (0,1). Anche l'esempio 3 del libro di testo (paragrafo 90: l'integrale di Lebesgue) può essere usato come un e- sercizio. Si tratta di calcolare l'integrale della funzione f(x) = 1/|x|^α sulla palla |x| < 1 in ℝ^n. Si può benissimo prendere n = 1. Per lo svolgimento, basta introdurre f_k(x) = f(x) per |x| > 1/k ed ap- plicare il teorema di Beppo Levi. Similmente si può calcolare l'integrale della stessa funzione sull'e sterno della palla.