Analisi Matematica 3
Prof. Antonio Greco

Alcuni esercizi assegnati a lezione



On Tue, 19 Mar 2024 at 12:42, Antonio Greco <greco@unica.it> wrote:

Oggi ho spiegato lo spazio metrico C¹([a,b]) con la distanza
d(x,y) = max|x(t)-y(t)| + max|x'(t)-y'(t)| ed ho lasciato due
esercizi:

1. Verificare che anche la funzione d_1(x,y) = max(|x(t)-y(t)|
+ |x'(t)-y'(t)|) soddisfa gli assiomi della distanza;

2. Verificare che le distanze d e d_1 sono equivalenti.



On Wed, 20 Mar 2024 at 16:37, Antonio Greco <greco@unica.it> wrote:

Oggi ho spiegato la continuità delle applicazioni F aventi
per dominio uno spazio metrico X e per codominio uno spazio
metrico Y, la condizione di Lipschitz, e la definizione di
contrazione, lasciando i seguenti esercizi:

1. Consideriamo la funzione F avente per dominio lo spazio
C¹([a,b]) con la metrica canonica, e per codominio lo spa-
zio C°([a,b]) con la metrica canonica, definita da F(f) = f'.
Verificare che si tratta di una funzione continua.

2. Consideriamo la funzione F avente per dominio lo spazio
C°([a,b]) con la metrica canonica, e per codominio lo spa-
zio C¹([a,b]) con la metrica canonica, definita indicando
con F(f) la funzione g(x) = integrale di f sull'intervallo
[a,x].

Ho dimostrato a lezione che F soddisfa la condizione di Lip-
schitz con la costante C = b-a+1. Chiedo di dimostrare che
questa è la costante minima: lo si può vedere confrontando
la funzione costante f_1=0 con la funzione costante f_2(x) = 1.

3. Consideriamo la funzione F avente per dominio e per codo-
minio lo spazio C°([a,b]) con la metrica canonica, definita
indicando con F(f) la funzione g(x) = integrale di f sull'in-
tervallo [a,x]. Determinare la lunghezza b-a affinché F sia
una contrazione.



Data: Sat, 23 Mar 2024 19:39:49 +0100

Nella lezione di venerdì ho assegnato i seguenti esercizi.

1. Scegliere uno spazio metrico completo X e definire una
funzione lipschitziana F: X→X avente almeno due punti fissi

2. Scegliere uno spazio metrico completo X e definire una
funzione lipschitziana F: X→X priva di punti fissi

3. Scegliere un opportuno spazio metrico X e definire una
contrazione F: X→X priva di punti fissi.



Data: Wed, 03 Apr 2024 20:06:24 +0200

Sto spiegando le serie di potenze ed ho assegnato
questo esercizio: integrando termine a termine la
serie di Maclaurin della funzione f(x) = sen x si
può trovare una serie che esprime l'integrale di
sen x dx su di un qualunque intervallo chiuso e
limitato [a,b].

Chiedo di verificare il risultato procedendo in
questo modo: al primo membro si integra sen x dx
usando la primitiva -cos x, ottenendo -cos b +
cos a. Poi si esprimono cos b e cos a mediante
la serie di Maclaurin di cos x.

Facendo la differenza tra le serie (che si può
fare sotto la sola ipotesi della convergenza pun-
tuale) si dovrebbe trovare la stessa serie ottenu-
ta all'inizio.



Data: Fri, 05 Apr 2024 14:27:03 +0200

Ho chiesto di dimostrare che le derivate di ordine
pari della funzione f(x) = arctg x sono funzioni dispari e
si annullano nell'origine (basta derivare l'identità f(x)
= -f(-x)).



Data: Tue, 09 Apr 2024 13:39:17 +0200

Oggi ho spiegato le serie di potenze nel campo dei nu-
meri complessi, ed ho assegnato questo esercizio:

1. Verificare che la funzione esponenziale è periodica
di periodo 2πi, cioè che exp(z+2kπi) = exp(z). Basta usare
le identità exp(z) = cos(z) + i sen(z) (che ho dimostrato)
e exp(z+w) = exp(z) exp(w) (che possiamo prendere per buona).

Poi ho spiegato gli spazi vettoriali normati, ed ho asse-
gnato questi esercizi:

2. Posto y(x) = (1 - x^p)^(1/p) con p∈(1,+∞), verificare
che y"(x) < 0 per x∈(0,1).

3. Verificare che la norma-1 e la norma-infinito in ℝ^n sod-
disfano la disuguaglianza triangolare.



Data: Wed, 10 Apr 2024 18:22:54 +0200

Ho chiesto agli studenti di verificare per esercizio che la
norma canonica dello spazio C^k([a,b]) soddisfa gli assiomi.

Infine ho assegnato un esercizio sulla convergenza uniforme:
consideriamo una funzione f ∈ C°([-π,π]), e supponiamo che la
sua serie di Fourier converga uniformemente ad f sull'inter-
vallo [-π,π]. Ho osservato che in tal caso si ha f(-π) = f(π).
Ora consideriamo il prolungamento g della funzione f a tutto
l'asse reale, definito ponendo g(x) = f(x) se x∈[-π,π), e g(x)
= f(y) se y∈[-π,π) e x-y = 2kπ per un certo intero k. Dimostra-
re che la stessa serie converge a g uniformemente su tutto l'as-
se reale (indicata con S_n(x) la somma ridotta, basta osservare
che max_ℝ |g(x)-S_n(x)| = max_[-π,π] |f(x)-S_n(x)|).



Data: Mon, 15 Apr 2024 17:27:14 +0200

Nella lezione di venerdì scorso ho invitato gli studenti
a determinare per esercizio la serie di Fourier della fun-
zione f(x) = cos 2x: l'esercizio serve solo per chiarire
che in questo semplice caso, e nei casi analoghi, la serie
di Fourier si riduce alla funzione data.



Data: Tue, 16 Apr 2024 15:23:55 +0200

Oggi ho verificato che i coefficienti di Fourier a_k di
una funzione continua f sono legati ai coefficienti β_k
della derivata f' (supponendo che esista e sia continua
a tratti) dalla relazione ka_k = -β_k per ogni k≥1.

Per procedere, ho suddiviso l'intervallo di integrazione
[-π,π] in un numero finito di intervalli su ciascuno dei
quali ho integrato per parti.

Ho lasciato per esercizio l'espressione di b_k. In gene-
rale si trova kb_k = α_k +(-1)^k (f(-π)-f(π))/π, però,
supponendo f periodica di periodo 2π, si ottiene l'e-
spressione più semplice kb_k = α_k per ogni k≥1.

Ho anche chiesto di verificare che se due serie numeriche,
a termini rispettivamente a_k e b_k, sono convergenti,
allora lo è anche la serie i cui termini sono c_k = a_k +
b_k, e la somma di quest'ultima serie è uguale alla somma
delle due precedenti (basta applicare la definizione).

Ho determinato esplicitamente lo sviluppo di Fourier di
f(x) = x^2: si trova a_0=π²/3 e k²a_k = 4(-1)^k per k≥1.
Ho invitato gli studenti a scrivere l'uguaglianza di Par-
seval per questa funzione: dovrebbero dedurne che la som-
ma della serie armonica generalizzata con esponente 4 è
π^4 diviso 90.

Infine, ho proposto di determinare i coefficienti di Fou-
rier della funzione f(x)=|x|, che sono: a_0=π e a_{2n+1}
= -4/(π(2n+1)²). Si trova a_{2n}=0 per ogni n.



Data: Wed, 17 Apr 2024 16:12:05 +0200

Sto svolgendo la dimostrazione della convergenza puntuale della
serie di Fourier, ed ho assegnato questo esercizio: se f ∈ C°(ℝ)
è periodica di periodo T, allora per ogni x∈ℝ l'integrale di f(t)
sull'intervallo [x-T/2, x+T/2] è uguale a quello sull'intervallo
[-T/2, T/2].

Per lo svolgimento, io prenderei innanzitutto il punto y nell'in-
tervallo [-T/2, T/2) tale che x-y = kT per un intero k. Con il
cambiamento di variabile s = t-kT, l'integrale di f(t) dt sul-
l'intervallo [x-T/2, x+T/2] diventa l'integrale di f(s+kT) ds
sull'intervallo [y-T/2, y+T/2] il quale, per periodicità, è
uguale all'integrale di f(s) ds sull'intervallo [y-T/2, y+T/2].

Dopodiché distinguerei alcuni casi: se y=0 la conclusione è im-
mediata, altrimenti dobbiamo fare un taglia-e-cuci sfruttando
l'additività dell'integrale.

Supponiamo y∈(0,T/2). In questo caso scriviamo l'integrale di
f(s) ds sull'intervallo [y-T/2, y+T/2] come somma di due inte-
grali: il primo esteso all'intervallo [y-T/2, T/2] ed il secon-
do sull'intervallo [T/2, y+T/2]. Solo in questo secondo inte-
grale farei la sostituzione s-T = τ, trasformandolo nell'in-
tegrale di f(τ+T) sull'intervallo [-T/2, y-T/2]. Questo, per
periodicità, coincide con l'integrale di f(s) ds sul medesimo
intervallo e perciò, sommato al primo integrale, dà l'inte-
grale di f(s) ds sull'intervallo [-T/2, T/2] come volevasi
dimostrare. Se y∈[-T/2, 0) il ragionamento è analogo.



Data: Wed, 24 Apr 2024 21:11:34 +0200

Questa settimana ho dato la definizione della misura esterna
di Lebesgue in dimensione 1, ed ho chiesto agli studenti di
trovare per esercizio la misura esterna dell'intervallo [a,b)
e quella dell'intervallo (a,b].

Gli studenti sono autorizzati a scegliere fra la definizione
data dal libro di testo e quella data inizialmente da Lebesgue,
che si può trovare anche alla pagina L12 della mia dispensa

https://web.unica.it/static/resources/cms/documents/Lebesgue_misura_22.pdf



Data: Mon, 29 Apr 2024 14:42:55 +0200

Oggi ho spiegato la misura esterna n-dimensionale, ed ho
chiesto agli studenti di determinare per esercizio la mi-
sura esterna bidimensionale dell'insieme X = { (t,t)∈ℝ² :
t∈[0,1] }, che è il segmento avente per estremi l'origine
ed il punto (1,1). Ovviamente l'insieme X ha misura di Pe-
ano-Jordan nulla.



Data: Thu, 02 May 2024 07:50:38 +0200
L'esercizio successivo sarebbe quello di sta-
bilire se l'insieme E = { (t,t)∈ℝ² : t∈ℝ } è misurabile,
ed in caso affermativo determinarne la misura.



Data: Fri, 03 May 2024 12:21:08 +0200

Oggi ho spiegato il legame fra la misura di Lebesgue e quella
di Peano-Jordan, e ho proposto agli studenti di determinare
per esercizio la misura esterna unidimensionale di Lebesgue
e quella di Peano-Jordan dell'insieme E=ℚ∩[0,1].

In effetti la prima si ottiene con il procedimento che ho spie-
gato il 22 aprile, basato su di un ricoprimento con intervalli
di ampiezza ε/2^k. Per la seconda basta osservare che se un
plurintervallo P contiene E, allora, essendo P chiuso, esso
contiene anche la chiusura di E che è l'intervallo [0,1].



Data: Wed, 08 May 2024 09:24:49 +0200

Ieri ho dimostrato il teorema della convergenza monotona, e
ho spiegato che la derivata di una funzione è misurabile.

Come esercizio ho chiesto di dimostrare che se una funzione
φ: E→ℝ è misurabile, allora lo è anche la funzione ψ(x)=φ(x)
per x∈E, ψ(x)=0 per x ∈ ℝ^n \ E (segue facilmente dalla defi-
nizione). Si potrebbe anche dimostrare che il prodotto cφ è
misurabile per ogni costante c∈ℝ.

Ho anche accennato al fatto che per ogni funzione misurabile
f≥0 e per ogni c∈[0,+∞) l'integrale di cf è uguale al prodot-
to di c per l'integrale di f: lo si verifica direttamente se
f è una funzione semplice, altrimenti si prende l'estremo su-
periore degli integrali delle funzioni semplici s(x)≤f(x) e
la tesi segue dal fatto che ad ogni s≤f corrisponde cs≤cf.



Data: Thu, 30 May 2024 15:28:23 +0200

Ho spiegato i teoremi di Fubini e di Tonelli, ed
ho assegnato i seguenti esercizi.

1. Indicato con G_0 ⊂ ℝ un insieme non misurabile,
trovare la misura esterna bidimensionale dell'in-
sieme G_0 x {0} ⊂ ℝ² (basta osservare che G_0 x {0}
⊂ ℝ x {0}).

2. Indichiamo con G_0 ⊂ (0,1) un insieme non misu-
rabile, e con X = { (x,y)∈ℝ² : x²+y²≤1 } il disco
unitario in posizione canonica. Stabilire se l'in-
sieme

X' = { (x,y)∈ℝ² : x²+y²≤1, y≠0 } ∪ G_0 x {0} ⊂ ℝ²

è misurabile, ed in caso affermativo determinarne
la misura.

3. Per ogni y∈ℝ stabilire se l'insieme E_y = { x
∈ℝ : (x,y) ∈ X' } ⊂ ℝ è misurabile, ed in caso af-
fermativo determinarne la misura (unidimensionale).

4. Determinare la misura di Lebesgue (unidimensio-
nale) dell'insieme { y∈ℝ : E_y non è misurabile }.

5. Consideriamo la funzione f(x,y) = (sgn x)/y per
x ∈ (-1,0) ∪ (0,1) e y ∈ (0,1). a) Stabilire se f
è integrabile secondo Lebesgue, ed in caso afferma-
tivo calcolarne l'integrale.

b) Per ogni y ∈ (0,1) calcolare l'integrale di f(x,
y) dx sul dominio (-1,0) ∪ (0,1). Indicato con Φ(y)
il valore dell'integrale, calcolare l'integrale di
Φ(y) dy sull'intervallo (0,1).

c) Per ogni x ∈ (-1,0) ∪ (0,1) calcolare l'integrale
di f(x,y) dy sull'intervallo (0,1). Indicato con Ψ(x)
il valore dell'integrale, stabilire se la funzione
Ψ(x) è integrabile sul dominio (-1,0) ∪ (0,1).

Anche l'esempio 3 del libro di testo (paragrafo 90:
l'integrale di Lebesgue) può essere usato come un e-
sercizio. Si tratta di calcolare l'integrale della
funzione f(x) = 1/|x|^α sulla palla |x| < 1 in ℝ^n.
Si può benissimo prendere n = 1. Per lo svolgimento,
basta introdurre f_k(x) = f(x) per |x| > 1/k ed ap-
plicare il teorema di Beppo Levi. Similmente si può
calcolare l'integrale della stessa funzione sull'e
sterno della palla.