Definizione di valore assoluto
Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale x si indica con |x| e si definisce come
Il grafico della funzione | x | è:
Esempio.
| -3 | = 3; | 3 | = 3 ;
| x + 6 | = x + 6 se x >- 6 ; | x + 6 | = - x - 6 se x <- 6 .
Osserviamo che 0 è l'unico numero con valore assoluto 0, cioè
| x | ³ 0 e | x | = 0 se e solo se x = 0 .
Il valore assoluto misura quindi la "grandezza di un numero" senza tener conto del segno, cioè
| x | = | - x | .
Un’altra proprietà del valore assoluto è che
| x + y | £ | x | + | y | " x , y Î R ,
nota come disuguaglianza triangolare.
Esempio.
1 = | - 1 | = | 2 + (-3) | £ | 2 | + | -3 | = 2 + 3 = 5 ;
5 = | - 5 | = | - 2 + (-3) | £ | -2 | + | -3 | = 2 + 3 = 5 .
Osserviamo che | x - y | denota la distanza fra due punti x e y sulla retta reale, essendo , appunto, la distanza considerata in valore assoluto (essa è sempre positiva).
Altre proprietà sono:
| x× y | = | x | × | y | ;
per esempio
10 = | - 2 × 5 | = | - 2 | × | 5 | = 2 × 5 = 10 .
| x - y | ³ | | x | - | y | | ;
per esempio
5 = | 5 | = | 3 - ( - 2) | ³| | 3 | - | - 2 | | = | 3 - 2 | = | 1 | = 1 .