Esame di Matematica Generale.

 

Cagliari  Gennaio 2003

 

Compito 1

Sistema Lineare

Integrale

Massimi e Minimi Condizionati

Teoria

 

Compito 2

Sistema Lineare

Integrale

Campo di Esistenza

Teoria

 

Compito 3

Sistema Lineare

Integrale

Campo di Esistenza

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

 

Essendo

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹2 e in tal caso per il teorema di

 

Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=2  si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esiste un'unica soluzione

 

ed il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=2)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=2 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

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3)            Risolvere il seguente problema di massimi

 

e minimi condizionati:

 

 

Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si ha:

 

 

da cui,

 

 

I punti stazionari sono

 

 

Per stabilire se sono massimi o minimi

 

si studia il segno dell’Hessiano orlato:

 

 

poiché

 

 

e

 

 

si ha che

 

 

è minimo.

 

Mentre

 

 

si ha che

 

 

è massimo.

 

 

 

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4)            Parte teorica:

Parlare del concetto di continuità di una funzione

e del suo legame con quello di derivabilità.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

 

 

Essendo

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹9 e in tal caso per il teorema di

 

Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=9  si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esiste un'unica soluzione

 

ed il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=9)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=9 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

 

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2)            Determinare il campo si esistenza

ed il comportamento sulla frontiera (agli estremi)

della seguente funzione esponenziale:

 

 

Campo di esistenza:

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

 

 

Quindi esistono due asintoti verticali, uno orizzontale e nessuno obliquo.

 

 

 

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3)            Parte teorica:

Parlare del concetto di integrale.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 3

 

 

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

 

Essendo

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹9 e in tal caso per il teorema di

 

Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=9  si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esiste un'unica soluzione

 

ed il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=9)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=9 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2)            Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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3)            Determinare il campo si esistenza

ed il comportamento sulla frontiera (agli estremi)

della seguente funzione esponenziale:

 

 

Campo di esistenza:

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

 

 

Quindi esistono due asintoti verticali, due orizzontali e nessuno obliquo.

 

 

 

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4)            Parte teorica:

Dare l’enunciato del Teorema di Cramer.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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