NUMERI NATURALI: N

 

I numeri naturali sono entità indefinibili.

Sono dati "a priori" come oggetti di cui abbiamo tutti innata intuizione.

L’insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo N e i suoi elementi sono:

 

Inoltre è possibile definire due operazioni binarie intere, l’addizione (+) e la moltiplicazione (×),

 ma per una definizione rigorosa di questo insieme,

è necessario introdurre degli assiomi.

Nel linguaggio scientifico, quando un concetto o una affermazione non è spiegabile in termini logici a partire da altri concetti o affermazioni,

si dice che quel qualcosa è un assioma, un postulato.

Le altre affermazioni che sono derivabili logicamente da altre affermazioni si chiamano, invece, teoremi.

 

Assiomi:

 

N°1

(a + b) + c = a + (b + c)

Proprietà associativa dell'addizione

N°2

a + b = b + a

Proprietà commutativa dell'addizione

N°3

(ab)c = a(bc)

Proprietà associativa della moltiplicazione

N°4

ab = ba

Proprietà commutativa della moltiplicazione

N°5

a + 0 = 0 + a = a

Esiste l'elemento neutro 0 per la somma

 

N°6

1 = 1×  a = a

Esiste l'elemento neutro 1 per il prodotto

 

N°7

a×  (b + c) = (a×  b) + (a×  c)

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

N°8

Dati a ¹ b, esiste un unico numero naturale c ¹ 0 tale che

a = b + c (se b),

oppure b = a + c (se a < b)

Ordinamento totale

N°9

a + b = a + c se e solo se b = c

Leggi di cancellazione rispetto alla somma

N°10

se a ¹ 0 allora: ab = ac se e solo se b = c

Leggi di cancellazione rispetto al prodotto

 

A partire da questi dieci assiomi è possibile dimostrare parecchie proprietà di N.

Tali assiomi, però, non caratterizzano completamente l'insieme dei numeri naturali.

Infatti una delle caratteristiche più importanti di N è che N è un insieme infinito: introducendo l’operazione "s" di passaggio al successore,

scelto comunque un numero naturale n,

possiamo sempre scrivere il suo successore, cioè s(n):=n+1.

N è generato, a partire da un suo primo elemento (lo zero) e

dall’operazione di passaggio al successore:

0 Þs(0)=1 Þ s(s(0))=s(1)=2 Þ s(s(s(0)))=s(2)=3 Þ  …

Note:

*  NON vale la proprietà distributiva della addizione rispetto alla moltiplicazione,

cioè non è vero in generale che  a + (b×  c) = (a + b) ×  (a + c).

*  Anche gli elementi neutri non si comportano in modo simmetrico rispetto

alle due operazioni (+) , (×) : il prodotto di ogni numero per 0 dà 0,

ma non è vero che la somma di ogni numero con 1 dia 1.

*  N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} sulla retta reale forma una successione di punti a distanza 1, partendo da 0 verso destra.

*  Si indica con N0 l’insieme {1, 2, 3, ..., n, ...}