Progressioni aritmetiche
Prima di definire cos’è una progressione occorre ricordare la definizione di successione numerica.
Si chiama successione numerica an una applicazione a definita nell’insieme dei numeri naturali N,
che a ogni numero naturale associa un numero reale: a(0) = a0 , a(1) = a1 , …, a(n) = an ,…
Si chiama progressione aritmetica di ragione d la successione così definita:
cioè tale che ciascun termine è uguale al termine precedente aumentato della ragione.
Risulta, quindi, che se la ragione è positiva, la progressione è crescente,
mentre se è negativa, la progressione è decrescente.
Il caso “degenere” si ottiene per d = 0, quando cioè la progressione diventa costante
(tutti i termini della successione sono uguali).
Esempio:
3, 7, 11, 15, 19,…
è una progressione aritmetica in cui il primo termine ( a0 ) è uguale a 3, e la ragione è pari a 4.
Una progressione è detta limitata se è formata da un numero finito di termini,
altrimenti si dice illimitata.
Vale la seguente formula
che permette di ricavare il l’elemento n-esimo della progressione,
conoscendo il primo elemento e la ragione.
Proprietà.
La somma dei termini di una progressione aritmetica limitata è uguale
alla semisomma dei termini estremi moltiplicata per il numero dei termini.
Quindi, detta
si ha
.
Un’applicazione di questa formula è il noto risultato della somma dei primi n numeri naturali,
pari a
Esempio:
Sfruttiamo la somma dei primi p numeri naturali: 1 + 2 + … + ( p - 1) + p
per dimostrare la formula della somma dei termini di una progressione aritmetica.
Se associamo i termini equidistanti dagli estremi (1 + p) + ( 2 + p – 1 ) + ( 3 + p – 2 ) + …,
si ottiene una somma di addendi tutti uguali a (p + 1).
Se p è pari si hanno p / 2 addendi, per cui la somma è
Se p è dispari si hanno ( p – 1 ) / 2 addendi uguali a (p + 1), mentre il termine centrale rimane isolato.
Quest’ultimo è dato dalla semisomma dei due estremi, cioè da
La somma che cerchiamo sarà allora, anche in tal caso
Considerando la nostra successione avremo
associando i termini con a1 , mettendo in evidenza d
e ricordando la somma dei numeri da 1 a ( n - 1) si ha:
come volevasi dimostrare (c.v.d.).
Progressioni geometriche.
Si chiama progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra ciascuno di essi
(eccetto il primo) e il precedente sia costante, cioè definita in modo che si abbia
La quantità q è chiamata ragione della progressione.
Possiamo supporre che q ¹ 1, perché altrimenti tutti i termini della progressione sarebbero uguali.
In tal caso la progressione si può scrivere:
.
Questa proprietà dice che un termine qualunque di una progressione geometrica
è uguale al primo termine moltiplicato per la ragione con esponente
uguale al numero dei termini che precedono quello considerato.
Osserviamo che, se q > 0 , tutti i termini della progressione sono concordi,
mentre se q < 0 sono di segno alterno.
Se, inoltre, il primo termine della progressione a1 > 0 e q > 0,
allora tutti i termini della progressione sono positivi e la progressione è crescente se q > 1,
decrescente se 0 < q < 1.
Esempi:
è
una progressione geometrica di ragione , mentre
è una progressione geometrica di ragione –3.
Il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica è dato dalla formula
la somma dei primi n termini della progressione è invece data dalla formula:
Per dimostrare la prima formula consideriamo
che, applicando la formula della somma dei primi (n – 1) numeri naturali, vista prima, diventa
cioè la formula cercata.
Per dimostrare la seconda formula consideriamo
ricordando che risulta
si ottiene la formula cercata.
Concludiamo il discorso sulle progressioni citando un problema posto da Fibonacci nel 1202:
“Un uomo possiede inizialmente 100 denari e spende ogni giorno 1 / 10 di ciò che ha.
Con
quanto rimane dopo 12 giorni?”
Il primo giorno spende 100 / 10 = 10 denari e rimane con 90
denari,
il secondo giorno spende 90 / 10 = 9 denari e rimane con 81
denari.
e
così via.
Ciò che spende ogni giorno è dato da una progressione geometrica
di primo elemento 10 e che ha come ragione 9 / 10 = 0,9.
Quindi, in 12 giorni spenderà
e gli rimarranno circa 34,8679 denari.