Esame di Matematica Generale e Finanziaria.
Compito 1 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Serie |
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Teoria |
Compito 2 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
|
Serie |
|
Teoria |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può affermare
che la funzione non è dispari.
Non è neanche dispari in quanto è semplice dimostrare che
esiste almeno un x0 tale che
Per esempio con x0 = 1 si ha
mentre
Calcolo dei limiti:
Il calcolo dell’asintoto obliquo non è richiesto.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi in
la funzione ha un minimo (assoluto), mentre per
sarà crescente e infine per
sarà decrescente.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo
(1)
implica che il r(A)=2
Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema di
Rouchè Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=1 si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esiste un'unica soluzione
ed il sistema è equivalente al seguente:
(con t=1)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=1 si ha la soluzione
.
3) Studiare per quali valori della x
converge la seguente serie:
Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che
da cui
Dunque se xÎ(0,2) la serie converge con somma
per x=0 la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.
Parlare del concetto di continuità
e fare alcuni esempi.
(Si veda il testo del corso)
Compito 2 |
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
ed essendo la funzione esponenziale sempre positiva, si ha:
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può
affermare che la funzione non è pari.
Non è neanche dispari in quanto, essendoci l’esponenziale,
è semplice dimostrare che esiste almeno un x0 tale che
Per esempio con x0 = 1 si ha
mentre
Calcolo dei limiti:
Quindi esiste solo un asintoto orizzontale.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi in
la funzione ha un massimo (assoluto),
mentre per
sarà decrescente e infine per
sarà crescente.
Calcolo della derivata seconda:
Perciò
Essendo l’esponenziale sempre positivo si ha
e quindi la funzione ha un flesso in x=2, mentre per x>2
sarà convessa e infine per x<2 sarà concava.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo
(1)
implica che il r(A)=2
Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema
di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=1 si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esiste un'unica soluzione
ed il sistema è equivalente al seguente:
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=1 si ha la soluzione
.
3) Studiare per quali valori della x
converge la seguente serie:
Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che
da cui
Dunque se
la serie converge con somma
per
la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.
Parlare della legge di capitalizzazione semplice e composta.
(Si veda il testo del corso)