Esame di Matematica Generale.

 

 

Cagliari 26 Aprile 2004

 

 

 

 

 

Compito unico

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può

 

affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

Quindi esistono due asintoti verticali, uno orizzontale e nessuno obliquo.

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

Ma x=0 non appartiene al dominio della funzione.

 

Quindi si ha

 

 

 

e quindi la funzione, f(x), sarà sempre decrescente.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹2 e in tal caso per il teorema

 

di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=2 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=2 e x=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=2 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del concetto di continuità e

derivabilità di una funzione e del loro legame.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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