La funzione esponenziale

La funzione esponenziale è una applicazione

così definita:

dove a è un numero positivo diverso da 1.

Se a > 1,  la funzione f è monotona crescente; se 0 <  a < 1 , f  è monotona decrescente, come mostrano le figure:

 


 a
> 1.

 

0 <  a < 1.


Un caso particolare di funzione esponenziale è quello in cui a = e, dove e è il numero di Nepero (circa 2,7…).

Esistono diversi fenomeni che possono essere decritti da una funzione esponenziale, e molti di questi sono nel campo economico.

 

Modello Malthusiano sulla crescita della popolazione.

Thomas Robert Malthus (1766-1834), economista inglese, nel 1798 pubblicò il “Saggio sulla popolazione”, dove analizzava il rapporto tra la dimensione della popolazione mondiale e la disponibilità dei mezzi di sussistenza. In quest’ opera affermò che la crescita della popolazione ha un andamento esponenziale nettamente superiore all'aumento delle risorse alimentari, che segue, invece, un modello lineare; conseguenza di questo inevitabile squilibrio sarebbe stata l'impossibilità, per la popolazione, di alimentarsi a sufficienza.

 


Malthus sosteneva che solo eventi come carestie, guerre e pestilenze potessero riuscire a frenare la tendenza ad un aumento rapidissimo della popolazione.

Nella realtà si è poi riscontrato che l'inquinamento ambientale, l'accumularsi di rifiuti tossici,

l'esaurimento delle risorse sono altri fattori che inibiscono lo sviluppo esponenziale della popolazione,

riducendo progressivamente il tasso di crescita che si stabilizza su un valore Nmax di individui e non supera tale numero.

 

Legge di capitalizzazione composta.

Supponiamo di voler depositare in una banca un certo capitale C.

L’interesse che la banca attua per una unità monetaria in un'unità di tempo,

è chiamato tasso di interesse, e si indica con i.

Se depositiamo una somma unitaria, per esempio 1 euro, al termine del primo anno,

 

il capitale depositato diventerà

Trascorso un secondo anno, la banca darà nuovamente un interesse,

calcolato però sul capitale disponibile alla fine del primo anno.

Il nuovo capitale in deposito, detto montante, sarà, quindi:

Al termine del terzo anno, rifacendo le stesse operazioni precedenti, si avrà

E cosi via.

 

Dopo n anni di deposito, il montante sarà

Questa legge, che ci dice come cresce il capitale iniziale, è detta legge di capitalizzazione composta,

perché alla fine di ogni anno il nuovo interesse è calcolato su

montante (composto da capitale iniziale e dagli interessi accumulati) e non sul solo capitale iniziale.

Se, in generale, indichiamo con C il capitale iniziale, con  M il montante e con i il tasso di interesse annuo,

il montante dopo n anni è dato dalla seguente formula

che costituisce, appunto, la legge di capitalizzazione composta.