STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Data la funzione y=f(x) :
1) Determinare il campo di esistenza X della f (cioè trovare il dominio di f, Dom(f)).
2) Studiare il segno della f, ossia determinare:
a. l’insieme MÍX tale che f(x)>0 " xÎM
b. l’insieme NÍX tale che f(x)=0 " xÎN
3) Ricercare eventuali simmetrie cioè vedere se:
a. f è pari ( f(x)=f(-x) " xÎX)
b. f è dispari ( f(x)= -f(-x) " xÎX)
4) (NON RICHIESTO) Ricercare eventuali periodicità cioè f(x)=f(x+kt) kÎZ , tÎR.
5) Vedere il comportamento in prossimità dei punti di frontiera del dominio di f. Cioè si tratta di calcolare i limiti agli estremi del campo di esistenza, trovando gli eventuali asintoti verticali e/o orizzontali.
6) Calcolare le equazioni degli eventuali asintoti obliqui, cioè y=ax+b dove
7) Ricercare eventuali massimi e minimi, locali o globali. Tecnicamente si tratta di determinare il sottoinsieme del dom(f) dove f è derivabile (Dom(f’)), di cercare nel Dom(f’) i punti stazionari (cioè le x per cui f’(x)=0) e di determinare la loro natura in base allo studio del segno di f’, cioè della monotonia di f.
a. f’>0 Þ la funzione f è crescente
b. f’<0 Þ la funzione f è decrescente
Infine si studiano i punti in cui la f non è derivabile.
8) (NON RICHIESTO) Può essere utile calcolare i limiti di f’ nei punti di frontiera di Dom(f’). Si trovano così eventuali cuspidi e punti angolosi o flessi a tangente verticale:
a. f’(x0)=¥ oppure f’(x0)= -¥Þ in x0 ho un flesso a tangente verticale.
b. f’+(x0)=¥ e f’-(x0)= -¥ o viceversaÞ in x0 ho una cuspide.
c. f’+(x0)¹ f’-(x0) e f è continua in x0 Þ in x0 ho un punto angoloso.
9) Studiare la convessità (f”>0), la concavità(f”<0 ) o eventuali punti di flesso a tangente non verticale.
10) Per ottenere la massima esattezza nel disegno della curva si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti, servendosi della equazione y=f(x).
11) Utilizzare un programma per disegnare il grafico.
Si può scaricare gratuitamente il programma Graph.exe dal sito http://www.padowan.dk