Esame di Matematica Generale e Finanziaria.

 

Oristano 15 Aprile 2003

 

Compito 1

Studio Funzione

Sistema Lineare

Serie

Teoria

 

 

 

Compito 2

Studio Funzione

Sistema Lineare

Serie

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può affermare che la funzione non è pari.

 

La funzione è dispari in quanto

 

 

 

Calcolo dei limiti:

 

Il campo di definizione della f(x) è un intervallo chiuso

 

e la funzione è continua, perciò non si deve calcolare alcun limite.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

e quindi in

 

 

la funzione ha un massimo (assoluto),

 

in

 

 

la funzione ha un minimo (assoluto),

 

mentre per

 

 

sarà decrescente e infine per

 

 

sarà crescente.

 

 

Calcolo della derivata seconda:

 

Dopo diversi calcoli si ottiene

 

Perciò

 

 

Essendo

 

 

sempre, si ha

 

 

e quindi la funzione ha un flesso nell’origine,

 

mentre per x<0 sarà convessa e infine per x>0 sarà concava.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹-1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=-1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=-1 e z=b)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=-1 si ha la soluzione

 

.

 

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3) Studiare per quali valori della x

 

converge la seguente serie:

 

 

Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che

 

 

da cui

 

 

Dunque se xÎ(0,1) la serie converge con somma

 

 

per x=0 la serie è indeterminata e infine

 

per i restanti punti la serie è divergente.

 

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4) Parte teorica:

Parlare del concetto di derivabilità

e fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

 

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Compito 2

 

 

 

1)Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

ed essendo la funzione esponenziale sempre positiva, si ha:

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può affermare

 

che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

 

 

Quindi esistono due asintoti verticali, uno orizzontale e nessuno obliquo.

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 

 

e quindi in

 

 

la funzione ha un massimo (relativo),

 

mentre per

 

 

sarà decrescente e infine per

 

 

sarà crescente.

 

Calcolo della derivata seconda (non richiesto):

 

Dopo diversi calcoli si ottiene

 

 

Perciò

 

 

sempre.

 

Essendo

 

 

sempre, si ha

 

 

 

e quindi la funzione non ha flessi,

 

mentre per x>3 sarà convessa e infine per x<3 sarà concava.

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(2)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (2).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e z=b)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Studiare per quali valori della x

 

converge la seguente serie:

 

 

Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che

 

 

da cui

 

 

Dunque se

 

 

la serie converge con somma

 

 

per

 

 

la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del concetto di capitalizzazione

e fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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