Definizione di valore assoluto

Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale x si indica con |x| e si definisce come

Il grafico della funzione | x | è:

Esempio.

| -3 | = 3;       | 3 | = 3 ;

| x + 6 | = x + 6     se    x >- 6 ;           | x + 6 | = - x - 6    se    x <- 6 .

Osserviamo che 0 è l'unico numero con valore assoluto 0, cioè

| x | ³ 0  e | x | = 0  se e solo se x = 0 .

Il valore assoluto misura quindi la "grandezza di un numero" senza tener conto del segno, cioè

| x | = | - x | .

Un’altra proprietà del valore assoluto è che

| x + y | £ | x | + | y |     " x , y Î R ,

nota come disuguaglianza triangolare.

Esempio.

1 = | - 1 | = | 2 + (-3) | £ | 2 | + | -3 | = 2 + 3 = 5 ;

5 = | - 5 | = | - 2 + (-3) | £ | -2 | + | -3 | = 2 + 3 = 5 .

Osserviamo che | x - y | denota la distanza fra due punti x e y sulla retta reale, essendo , appunto, la distanza considerata in valore assoluto (essa è sempre positiva).

Altre proprietà sono:

| x× y | = | x | × | y | ;

per esempio

10 = | - 2 × 5 | = | - 2 | × | 5 | = 2 × 5 = 10 .

| x - y | ³ | | x | - | y | | ;

per esempio

5 = | 5 | = | 3 - ( - 2) | ³| | 3 | - | - 2 | | = | 3 - 2 | = | 1 | = 1 .