NUMERI COMPLESSI: C
I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali che permettono di
generalizzare la teoria delle equazioni
polinomiali (algebriche).
Infatti non tutte le equazioni polinomiali hanno soluzione reale,
per esempio l’equazione
non ha nessuna soluzione reale perché non esiste nessun numero reale che
moltiplicato per se stesso dia –1 (qualsiasi numero reale, non nullo,
elevato al quadrato ha come
risultato un numero positivo).
Introducendo il numero immaginario:
tale che
si può costruire l’insieme dei numeri complessi.
La precedente equazione, non risolubile nel campo reale, nel campo complesso
ha due soluzioni, +i e -i.
Ogni numero complesso si definisce come:
in cui a e b sono numeri reali;
a è detta la parte reale di z (ovvero a = Re(z) )
e b è detta la parte immaginaria di z (ovvero b = Im(z) ).
Se a = 0 il numero complesso si dice immaginario puro.
Se b = 0 il numero si dice reale.
L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con C e rappresenta una estensione algebrica di R in quanto, se Im(z)=0, un numero complesso diventa reale.
Sull'insieme dei numeri complessi si possono effettuare le usuali quattro operazioni definite nel seguente modo:
Operazione |
Regola |
Addizione |
|
Sottrazione |
|
Prodotto |
|
Divisione |
|
In questo modo si può generalizzare la teoria delle equazioni polinomiali pervenendo
al fondamentale risultato che :
Ogni equazione polinomiale di grado n ha n soluzioni complesse (reali o contenenti i). |
Il numero complesso :
si chiama complesso coniugato di
Di un numero complesso
si definisce il modulo o valore assoluto
in modo che :
cioè
Se il numero è reale (Im(z)=0) il modulo coincide
con il valore assoluto definito nel campo
reale.
I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano
cartesiano così come i numeri reali possono essere rappresentati come
punti su una retta orientata.
La conoscenza e l'uso dei numeri complessi è molto importante in diversi settori della scienza, specialmente per la soluzione di molte equazioni differenziali.
I numeri complessi furono introdotti, in un modo molto casuale, dal matematico italiano Raffaele Bombelli (1526-1573), ma solo dopo più di 100 anni iniziarono ad essere utili, in modo significativo, nella matematica.
Vedi anche simbologia sui numeri complessi.