Teoria degli  insiemi

I concetti di insieme e di elemento di un insieme sono fondamentali nella matematica.

Essi non possiedono una vera e propria definizione.

Per insieme si intende, infatti, un aggregato, o classe, o collezione di oggetti, chiamati, appunto, elementi; di ciascuno di essi, di qualunque natura essi siano,

deve essere sempre possibile stabilire se essi appartengono o no all’insieme.
Un insieme si denota, in genere, con una lettera maiuscola,

mentre i suoi elementi si indicano con lettere minuscole. Si scrive

e si legge “a appartiene ad A”.
Se un elemento
non appartiene ad un insieme si scrive :

Un insieme ammette due tipi di rappresentazione: enunciativa e descrittiva.

La prima serve per definire un insieme specificando le qualità che devono possedere tutti e soli i suoi elementi, per esempio:

{x : x è un numero primo minore di 7 }

(si legge l’insieme delle x tali che x un numero primo minore di 7 ).

La seconda definisce l’insieme elencando tutti gli elementi ad esso appartenenti:

{1 , 2 , 3 , 5 } .

Osserviamo che se un insieme possiede un numero infinito di elementi,

questa seconda rappresentazione non è ammessa,

a meno che non si possa stabilire un certo ordine tra i suoi elementi,

come avviene, per esempio, per l’insieme dei numeri naturali:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } .
Per visualizzare un insieme con i suoi elementi si può utilizzare un cosiddetto
diagramma di Venn :

 

 


Definizioni, proprietà e operazioni insiemistiche.

 

Due insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi, cioè se tutti e soli gli elementi del primo insieme sono anche tutti e soli gli elementi del secondo insieme:

Un insieme che non contiene nessun elemento si dice insieme vuoto e si indica col simbolo

Si dice che A è un sottoinsieme di B se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B :

Osserviamo che con la notazione

indichiamo che A è strettamente contenuto in B;

questo si esprime dicendo che A è un sottoinsieme proprio di B.

 Se A non è sottoinsieme di B si scrive :

L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A si chiama

insieme potenza (o insieme delle parti) di A e si indica con P(A).

Per esempio, se A = {a, b, c}, il suo insieme potenza è:
        P(A) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Osserviamo che l’insieme vuoto fa parte dell’insieme potenza dell’insieme dato

perché l’insieme vuoto è  sottoinsieme di ogni insieme.

Si noti anche che a indica un elemento dell’insieme,

mentre { a } indica un insieme il cui unico elemento è a
Definiamo l’insieme
differenza di A e B come l’insieme degli

elementi di A che non  sono contenuti in B:

nella seguente figura A - B è evidenziato in blu

Se un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme X,

la differenza fra i due è detta complementare di A rispetto X :

nella seguente figura X - A è evidenziato in blu


Dati due insiemi A e B, l’insieme
unione di A e B è definito

come quell’insieme costituito dagli elementi di A oppure da quelli di B:

nella seguente figura AÈ B è evidenziato in blu

Dati due insiemi A e B, l’insieme intersezione di A e B è definito

come quell’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B:

nella seguente figura A Ç B è evidenziato in blu

Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti;

in tal caso la loro intersezione è vuota:

 

Citiamo le regole di De Morgan:

 

        Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A ´ B è definito come l’insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento della coppia appartiene al primo insieme del prodotto, e il secondo elemento appartiene al secondo insieme:

Un esempio importantissimo di prodotto cartesiano è quello dato da R ´ R,

cioè dal prodotto della retta reale per se stessa.

Questo prodotto fornisce, infatti, il piano cartesiano, in cui rappresenteremo le funzioni

(su questo argomento si veda la sezione Strumenti di base).

Ad ogni punto del piano possiamo associare delle coordinate,

la prima delle quali sarà la posizione nell’asse delle ascisse, e la seconda in quello delle ordinate. Osserviamo che l’ordine degli elementi in una coppia ordinata è fondamentale:

per esempio, la coppia ( 1 , 2 ) è diversa dalla coppia ( 2 , 1)

come mostra la loro posizione nel piano cartesiano:

 

 

Esempio.

Dati gli insiemi:

A = { 2, 5, 8 }         e      B = { 3, 11}

il loro prodotto cartesiano è

A ´ B = { ( 2 , 3 ) , ( 2 , 11 ) , ( 5 , 3 ) , ( 5 , 11 ) , ( 8 , 3 ) , ( 8 , 11 ) } .

Vale la seguente proprietà: se A è un insieme formato da n elementi e B un insieme il cui numero di elementi è m, allora il prodotto cartesiano A ´ B contiene n×m elementi.

Osserviamo, infine, che il prodotto cartesiano non è commutativo, cioè

nell’esempio precedente, infatti, risulta:

B´ A = { ( 3 , 2 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 8 ) , ( 11 , 2 ) , ( 11 , 5 ) , ( 11 , 8 ) } .