Esame di Matematica Generale e Finanziaria.

 

 

Oristano 19 Giugno 2003

 

 

 

 

 

Compito unico

Studio Funzione

Sistema Lineare

Serie

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

Non richiesto (vedi nota più avanti)

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza si può affermare che

 

la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

Quindi esiste un asintoto verticale, nessuno orizzontale e nessuno obliquo.

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

Ma x=-2 non appartiene al dominio della funzione.

 

 

 

 

 

Quindi la funzione, f(x) ha un minimo (assoluto) in x=2

 

e sarà decrescente per x<2 e crescente per x>2.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e x=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Studiare per quali valori della x

 

converge la seguente serie:

 

 

Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che

 

 

da cui

 

 

Dunque se

 

 

la serie converge con somma

 

 

per x=0 la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare delle funzioni, in particolare di quelle

continue e fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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