La funzione logaritmo

La funzione logaritmica (o funzione logaritmo) è una applicazione

così definita:

dove a è un numero positivo diverso da 1.

L’espressione log a x si legge “logaritmo in base a di x”;

a è la base del logaritmo, x è l’argomento.

Come la funzione esponenziale, anche la funzione logaritmo è monotona crescente se a > 1,

mentre è monotona decrescente se 0 <  a < 1, come mostrano le figure:

( la curva tratteggiata è quella corrispondente a 0 <  a < 1).

Un caso particolare della funzione logaritmo si ottiene quando la base è uguale ad e;

in tal caso la funzione è chiamata logaritmo naturale e si indica con ln(x).

Un altro esempio che si incontra spesso è con a = 10, che in genere si indica con Log(x).

Il logaritmo in base a di un numero x può essere definito anche come

l’esponente che bisogna dare alla base a per ottenere l’argomento x.

Esempio.

log 2 8 = 3 : l’esponente che bisogna dare a 2 per ottenere 8 è 3.

Da questa definizione si nota che la funzione esponenziale a y = x è l’inversa della funzione logaritmo y = log a x .

Per questo motivo, quando ci troviamo di fronte a equazioni del tipo

5 = ln (x)   possiamo scrivere

e 5 = e ln (x)  da cui

e 5 = x  (la funzione “e” e la funzione “ln” si sono “semplificati”, essendo una l’inversa dell’altra).

Viceversa, data

17 = 3 x   possiamo applicare il logaritmo in base 3 a primo e secondo membro

log 3 17 = log 3 3x  da cui

log 3 17 = x  per la definizione di logaritmo.

 

Proprietà del logaritmo.

Elenchiamo in modo sintetico le proprietà del logaritmo:

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*   la somma di due logaritmi aventi stessa base e diverso argomento è un logaritmo avente come base la stessa base e come argomento il prodotto degli argomenti:

*   la differenza di due logaritmi aventi stessa base e diverso argomento è un logaritmo avente come base la stessa base e come argomento il rapporto degli argomenti:

       

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Attenzione!

e

Ricordiamo anche le formule per passare da un logaritmo in base 10 a quello naturale e viceversa :

dove