Si dice disequazione di secondo grado
intera nell'incognita x ogni
disequazione del tipo:
a
x2 +
b x + c > 0
oppure
a
x2 +
b x + c < 0
con a, b, c
ÎR
ed a ¹ 0.
Nota: Studiamo solo il
caso > in quanto ci si può sempre ricondurre a questo,
moltiplicando per –1
la disequazione a x2
+ b x + c < 0
Sia D
= b2 – 4ac.
Secondo il valore
assunto dal D si possono verificare i seguenti casi:
Valore di D
|
Soluzioni |
Esempio |
Significato geometrico |
D<0 |
Il
trinomio non possiede alcuna radice reale, il suo segno, costante, è quello
di a. |
x2+x+1>0 D=-3,
a=1 Þ sempre verificata |
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-2x2+3x-4>0 D=-23,
a=-2 Þ
mai verificata |
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||
D=0 |
Il
trinomio possiede un’unica radice reale nel quale si annulla.
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-x2+4x-4>0 D=0,
a=-1 Þ
mai verificata |
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3x2-6x+3>0 D=0,
a=3 Þ
verificata "x¹1 |
|
||
D>0 |
Il
trinomio possiede due radici reali e distinte(x1, x2). Nota:per
ipotesi x1< x2. (vedi
equazioni secondo grado) Se a<0, il suo segno è:
Se a>0, il suo segno è:
(-¥,x1)È(x2,+¥) |
-x2+4x-3>0 D=4,
a=-1
x1=1,
x2=3 Þ
verificata "xÎ(1,3) |
|
x2- 5x+6>0 D=1,
a=1
x1=2,
x2=3 Þ
verificata "xÎ(-¥,2)È(3,+¥) |
|
Nota: nel caso delle
seguenti disequazioni:
ax2
+ bx + c £ 0 e ax2 + bx + c ³
0 |
si procede studiando
oltre alla disequazione > (oppure <) anche l’equazione.
Esempi:
Disequazione |
Soluzioni |
x2-4x+3£0 D=4,
a=-1
x1=1,
x2=3 |
Þ
verificata "xÎ[1,3] |
x2- 5x+6³0 D=1,
a=1
x1=2, x2=3 |
Þ
verificata "xÎ(-¥,2]È[3,+¥) |