Teoria degli insiemi
I
concetti di insieme
e di elemento di un insieme
sono fondamentali nella matematica.
Essi
non possiedono una vera e propria definizione.
Per
insieme si intende, infatti, un aggregato, o classe, o collezione di oggetti,
chiamati, appunto, elementi; di ciascuno di essi, di qualunque natura essi
siano,
deve
essere sempre possibile stabilire se essi appartengono o no all’insieme.
Un insieme si denota, in genere, con una lettera maiuscola,
mentre
i suoi elementi si indicano con lettere minuscole. Si scrive
e
si legge “a appartiene ad A”.
Se un elemento non appartiene
ad un insieme si scrive :
Un
insieme ammette due tipi di rappresentazione: enunciativa
e descrittiva.
La
prima serve per definire un insieme specificando le qualità che devono
possedere tutti e soli i suoi elementi, per esempio:
{x
: x è un numero primo minore di 7 }
(si
legge l’insieme delle x tali che x un numero primo minore di 7
).
La
seconda definisce l’insieme elencando tutti gli elementi ad esso appartenenti:
{1
, 2 , 3 , 5 } .
Osserviamo
che se un insieme possiede un numero infinito di elementi,
questa
seconda rappresentazione non è ammessa,
a
meno che non si possa stabilire un certo ordine tra i suoi elementi,
come
avviene, per esempio, per l’insieme dei numeri naturali:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
.
Per visualizzare un insieme con i suoi elementi si può utilizzare un cosiddetto
diagramma di Venn
:
Definizioni, proprietà e operazioni
insiemistiche.
Due
insiemi si dicono uguali
se hanno gli stessi elementi, cioè se tutti e soli gli elementi del primo
insieme sono anche tutti e soli gli elementi del secondo insieme:
Un
insieme che non contiene nessun elemento si dice insieme vuoto e si indica col simbolo
Si
dice che A è un sottoinsieme
di B se tutti gli elementi di A sono anche
elementi di B :
Osserviamo
che con la notazione
indichiamo
che A è strettamente contenuto in B;
questo
si esprime dicendo che A è un sottoinsieme proprio di B.
Se A non è sottoinsieme di B
si scrive :
L’insieme
di tutti i sottoinsiemi di un insieme A si chiama
insieme potenza (o insieme
delle parti) di A e si indica con P(A).
Per esempio,
se A = {a, b, c}, il suo insieme potenza è:
P(A) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,
b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Osserviamo che l’insieme vuoto fa parte dell’insieme potenza dell’insieme
dato
perché
l’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
Si
noti anche che a indica un elemento dell’insieme,
mentre
{ a } indica un insieme il cui unico elemento è a.
Definiamo l’insieme differenza
di A e B come l’insieme degli
elementi
di A che non sono contenuti in B:
nella
seguente figura A -
B è evidenziato in blu
Se
un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme X,
la
differenza fra i due è detta complementare di
A rispetto X :
nella
seguente figura X -
A è evidenziato in blu
Dati due insiemi A e B, l’insieme unione di A
e B è definito
come
quell’insieme costituito dagli elementi di A oppure da
quelli di B:
nella
seguente figura AÈ
B è evidenziato in blu
Dati
due insiemi A e B, l’insieme intersezione di A
e B è definito
come
quell’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A
che a B:
nella
seguente figura A Ç
B è evidenziato in blu
Se
due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti;
in
tal caso la loro intersezione è vuota:
Citiamo
le regole di De Morgan:
Dati due insiemi A e B, il prodotto
cartesiano di A ´
B è definito come
l’insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento della coppia appartiene
al primo insieme del prodotto, e il secondo elemento appartiene al secondo
insieme:
Un
esempio importantissimo di prodotto cartesiano è quello dato da R ´
R,
cioè
dal prodotto della retta reale per se stessa.
Questo
prodotto fornisce, infatti, il piano
cartesiano, in cui rappresenteremo le funzioni
(su questo argomento si veda la sezione Strumenti
di base).
Ad
ogni punto del piano possiamo associare delle coordinate,
la
prima delle quali sarà la posizione nell’asse delle ascisse, e la seconda in
quello delle ordinate. Osserviamo che l’ordine degli elementi in una coppia
ordinata è fondamentale:
per
esempio, la coppia ( 1 , 2 ) è diversa dalla coppia ( 2 , 1)
come
mostra la loro posizione nel piano cartesiano:
Esempio.
Dati
gli insiemi:
A
= { 2, 5, 8 } e B = { 3, 11}
il
loro prodotto cartesiano è
A ´ B = { ( 2 , 3 ) , ( 2 , 11 ) , ( 5 , 3 ) , ( 5 , 11 ) , ( 8 , 3 ) , ( 8 , 11 ) } .
Vale
la seguente proprietà: se A è un insieme formato da n elementi
e B un insieme il cui numero di elementi è m,
allora il prodotto cartesiano A ´
B contiene n×m
elementi.
Osserviamo,
infine, che il prodotto cartesiano non è commutativo, cioè
nell’esempio
precedente, infatti, risulta:
B´ A = { ( 3 , 2 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 8 ) , ( 11 , 2 ) , (
11 , 5 ) , ( 11 , 8 ) }
.