Angoli e loro misura
Anche se nelle applicazioni economiche non si incontrano spesso funzioni trigonometriche,
è bene introdurre alcuni concetti che sono comunque basilari nella matematica.
Ricordiamo che si chiama angolo ciascuna delle due parti di piano
diviso da due semirette che hanno la stessa origine.
Le due semirette sono
chiamate lati dei due angoli e l'origine comune vertice.
Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo,
si chiama arco circolare (o più semplicemente arco) quella parte di circonferenza,
interna all'angolo, avente per estremi i punti di intersezione con i lati dell'angolo stesso.
Rappresentiamo alcuni angoli:
angolo retto: 90° |
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angolo acuto: minore di 90° |
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angolo ottuso: maggiore di 90° |
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Ciascun angolo si dice orientato se si stabilisce un verso di percorrenza del suo arco
(senso orario o antiorario);
convenzionalmente si pone come verso positivo di percorrenza quello antiorario.
La parte non contenente i prolungamenti dei lati si dice angolo convesso, l'altra angolo concavo.
angoli complementari : la loro somma è un angolo retto |
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angoli supplementari : la loro somma è un angolo piatto (180°) |
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angoli esplementari : la loro somma è un angolo giro (360°) |
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Gli angoli possono essere misurati in gradi oppure in radianti.
Il radiante è definito come l'angolo al centro di una circonferenza, di raggio arbitrario,
che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso.
Mostriamo come la misura sessagesimale sia equivalente a quella in radianti, e come,
quindi, si possa passare dalla misura in gradi a quella in radianti, e viceversa.
Consideriamo un angolo a (la cui misura è espressa in gradi)
e una circonferenza centrata nel vertice dell'angolo, di raggio r.
Chiamiamo x la lunghezza dell’arco intercettato sulla circonferenza dai lati dell’angolo.
Risulta :
x : 2 p r = a : 360°,
da cui:
x = (2 p r ×a )/ 360° ;
ponendo r = 1 e semplificando si ottiene
(1) x = pa / 180°,
che è la formula che ci permette di passare da una misurazione all’altra.
Osserviamo, infatti, che aumentando il raggio,
la lunghezza dell’arco aumenta proporzionalmente,
per cui il rapporto tra l’arco x e il raggio non cambia,
cioè la misura in radianti di un angolo non dipende dal raggio.
Esempio.
Sia a = 30° ; da (1) si ha:
x = p 30°/ 180°
x = p / 6 .
Riportiamo la seguente tabella con le corrispondenze degli angoli più usati nelle applicazioni:
gradi |
0° |
18° |
30° |
45° |
60° |
90° |
135° |
150° |
180° |
270° |
360° |
radianti |
0 |
p /10 |
p / 6 |
p / 4 |
p / 3 |
p / 2 |
3/4 p |
5/6 p |
p |
3/2 p |
2 p |
Funzioni trigonometriche.
Sono chiamate funzioni goniometriche (o trigonometriche o circolari)
quelle in cui la variabile indipendente è un angolo (o un arco).
Consideriamo un angolo orientato a con vertice coincidente
con l’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy.
Chiamiamo P, di coordinate (x,y) un punto generico della semiretta r uscente dall’origine
(il secondo lato dell’angolo).
Osserviamo che il triangolo POQ è rettangolo in Q, e il segmento OP è la sua ipotenusa.
Definiamo:
Inoltre:
Osserviamo che le quantità che abbiamo definito non dipendono dalla posizione
del punto P sulla retta r, ma soltanto dall’angolo a, quindi sono funzioni dell’angolo a.
Possiamo ridefinire queste funzioni anche nella cosiddetta circonferenza goniometrica,
cioè una circonferenza avente raggio unitario,
centrata nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale:
Il verso di percorrenza positivo della circonferenza è quello antiorario.
Ora consideriamo un punto P sulla circonferenza,
e chiamiamo con r la retta passante per l’origine O e per P.
Essa forma con l’asse x un angolo a.
Nella circonferenza goniometrica possiamo definire le
funzioni trigonometriche dell’angolo orientato a:
il seno di a, cioè l’ordinata del punto P, il coseno di a, cioè l’ascissa del punto P,
la tangente di a, cioè il rapporto tra seno e coseno.
Infatti si ha:
Osserviamo che l’ultima relazione, che lega fra loro seno, coseno e tangente,
deriva dal fatto che i due triangoli rettangoli OPH ed OP’H’ del disegno sono simili
(ovvero hanno i lati omologhi in proporzione).
Per quanto riguarda le notazioni, spesso si usa sen al posto di sin, e tg al posto di tan.
Seno, coseno e tangente sono funzioni periodiche, ovvero dopo un certo intervallo,
detto periodo, assumono nuovamente i medesimi valori.
Il periodo di seno e coseno è 2 π . Il periodo della tangente è π .
Superato l’angolo pari al periodo,
una funzione periodica assume i medesimi valori del periodo precedente.
Si può così immaginare di prendere un angolo crescente all’infinito,
anche se la funzione assume, periodo per periodo, gli stessi valori.
Ciò vale anche per angoli negativi (presi cioè in senso orario).
Le funzioni seno e coseno hanno quindi dominio che va da -¥ a + ¥,
sono limitate e oscillano fra i valori + 1 e -1.
Il campo di esistenza della funzione tangente,
invece, va da -¥ a + ¥ ,
con esclusione dei valori in cui il coseno è uguale a 0 ( π / 2, 3 π / 2 etc.).
Ciò è giustificato algebricamente dal fatto che il coseno,
che compare al denominatore nella relazione che esprime
la tangente in funzione di seno e coseno, non può essere nullo;
dal punto di vista geometrico, si vede che sulla circonferenza trigonometrica il punto P’,
al tendere dell’angolo a π / 2, si allontana indefinitamente da H’
(la retta OP’ tende a diventare parallela alla retta H’P’).
La tangente ha quindi un comportamento asintotico nei suddetti punti,
ovvero il suo grafico si avvicina indefinitamente alle rette di equazione x = π / 2 , x = 3 π / 2 etc.,
tendendo nei suddetti punti all’infinito
(positivamente o negativamente, così come è mostrato dal grafico nel paragrafo successivo).
Analogamente a quanto fatto per un triangolo generico, definiamo:
(cotangente di a);
???
(secante di a);
(cosecante di a).
Anche in questo caso sono in uso diverse notazioni: cotg anziché cot e cosec anziché cos sec.
Grafici delle principali funzioni trigonometriche.
La curva che rappresenta il grafico della funzione seno si chiama sinusoide.
La curva che rappresenta il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide.
La curva che rappresenta il grafico della funzione tangente si chiama tangentoide.
Formule fondamentali della trigonometria.
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