Esame di Matematica Generale.
Compito 1 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Integrale |
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Teoria |
Compito 2 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Integrale |
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Teoria |
Compito 3 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Integrale |
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Teoria |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione
si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.
Calcolo dei limiti:
Quindi la retta y = 1/2 è un asintoto verticale;
non esistono asintoti orizzontali né obliqui.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi la funzione f(x) sarà crescente per
e decrescente per
Il punto di ascissa
è un punto di minimo.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(1)
risulta r(A)=2.
implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 8/3 e in tal caso per il teorema
di Rouché Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=8/3, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice
completa è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=8/3 e x=a)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=8/3 si ha la soluzione
.
3) Calcolare il seguente integrale:
4) Parte teorica:
Definire una serie numerica
e fare alcuni esempi di serie convergenti e non.
(Si veda il testo del corso)
Compito 2 |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Usando il metodo grafico si trova che
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione
si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.
Calcolo dei limiti:
Quindi non ci sono né asintoti verticali né orizzontali né obliqui.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi la funzione f(x) sarà crescente per questi valori di x e decrescente per
.
Calcolando la derivata seconda si trovano due flessi.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(1)
risulta r(A)=2.
implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 1 e in tal caso per il teorema
di Rouché Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t = 1, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=1 e x=a)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t = 1 si ha la soluzione
.
3) Calcolare il seguente integrale:
Parlare del legame tra il concetto di continuità e derivabilità.
Fare alcuni esempi.
(Si veda il testo del corso)
Compito 3 |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Non ci sono intersezioni con gli assi.
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione
si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.
Calcolo dei limiti:
Quindi la retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale,
e la retta y = 0 orizzontale;
non ci sono asintoti obliqui.
Calcolo della derivata:
Perciò
quindi la funzione f(x) sarà sempre decrescente nel suo dominio.
Non ci sono né massimi né minimi né flessi.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(1)
risulta r(A)=2.
implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 1 e in tal caso per il teorema
di Rouché Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t = 1, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=1 e x=a)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t = 1 si ha la soluzione
.
3) Calcolare il seguente integrale:
Parlare del problema dei massimi e minimi liberi in più variabili.
(Si veda il testo del corso)