Esame di Matematica Generale.

Cagliari Febbraio 2003

Compito 1

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

Compito 2

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

Compito 3

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione

 

si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

Quindi la retta y = 1/2 è un asintoto verticale;

 

non esistono asintoti orizzontali né obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per

 

 

e decrescente per

 

 

Il punto di ascissa

 

 

è un punto di minimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 8/3 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=8/3, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice

 

completa è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=8/3 e x=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=8/3 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Definire una serie numerica

e fare alcuni esempi di serie convergenti e non.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

Usando il metodo grafico si trova che

 

 

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione

 

si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Quindi non ci sono né asintoti verticali né orizzontali né obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per  questi valori di x e decrescente per

 

.

 

Calcolando la derivata seconda si trovano due flessi.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t = 1, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e x=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t = 1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del legame tra il concetto di continuità e derivabilità.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 3

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

Non ci sono intersezioni con gli assi.

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo il segno della funzione e applicando la definizione

 

si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

Quindi la retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale,

 

e la retta y = 0 orizzontale;

 

non ci sono asintoti obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 quindi la funzione f(x) sarà sempre decrescente nel suo dominio.

 

Non ci sono né massimi né minimi né flessi.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t = 1, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e x=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t = 1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del problema dei massimi e minimi liberi in più variabili.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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