Disequazione di secondo grado

Si dice disequazione di secondo grado intera nell'incognita x ogni disequazione del tipo:

a x2 + b x + c > 0

oppure

a x2 + b x + c < 0

con a, b, c ÎR ed a ¹ 0.

Nota: Studiamo solo il caso > in quanto ci si può sempre ricondurre a questo,

moltiplicando per –1 la disequazione   a x2 + b x + c < 0

Sia D = b2 – 4ac.

 

Secondo il valore assunto dal D si possono verificare i seguenti casi:

Valore di D

Soluzioni

Esempio

Significato geometrico

D<0

Il trinomio non possiede alcuna radice reale, il suo segno, costante, è quello di a.

 

x2+x+1>0

 

D=-3, a=1

 

Þ sempre verificata

-2x2+3x-4>0

 

D=-23, a=-2

 

Þ mai verificata

D=0

Il trinomio possiede un’unica radice reale nel quale si annulla.

Per tutti gli altri valori assume il segno di a.

 

-x2+4x-4>0

 

D=0, a=-1

 

Þ mai verificata

3x2-6x+3>0

 

D=0, a=3

 

Þ verificata "x¹1

D>0

Il trinomio possiede due radici reali e distinte(x1, x2).

Nota:per ipotesi x1< x2.

(vedi equazioni secondo grado)

 

Se a<0, il suo segno è:

*Positivo per valori interni alle radici e negativo per valori esterni.

* L'insieme delle soluzioni della disequazione è (x1, x2).

 

Se a>0, il suo segno è:

* Positivo per valori esterni alle radici e negativo per valori interni.

* L'insieme delle soluzioni della disequazione è

(-¥,x1)È(x2,+¥)

 

-x2+4x-3>0

 

D=4, a=-1

 

con radici

x1=1, x2=3

 

Þ verificata

"xÎ(1,3)

x2- 5x+6>0

 

D=1, a=1

 

con radici

x1=2, x2=3

 

Þ verificata

"xÎ(-¥,2)È(3,+¥)

 

 

Nota: nel caso delle seguenti disequazioni:

ax2 + bx + c £ 0

e

 ax2 + bx + c ³ 0

si procede studiando oltre alla disequazione > (oppure <) anche l’equazione.

Esempi:

Disequazione 

Soluzioni

x2-4x+3£0

 

D=4, a=-1

 

con radici

x1=1, x2=3

Þ verificata

"xÎ[1,3]

x2- 5x+6³0

 

D=1, a=1

 

con radici

 x1=2, x2=3

Þ verificata

"xÎ(-¥,2]È[3,+¥)