NUMERI   COMPLESSI: C


I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali che permettono di generalizzare la teoria delle
equazioni polinomiali (algebriche).

Infatti non tutte le equazioni polinomiali hanno soluzione reale,

per esempio l’equazione

non ha nessuna soluzione reale perché non esiste nessun numero reale che

moltiplicato per se stesso dia –1 (qualsiasi numero reale, non nullo,

elevato al quadrato ha come risultato un numero positivo).
Introducendo il numero immaginario:

tale che

si può costruire l’insieme dei numeri complessi.

La precedente equazione, non risolubile nel campo reale, nel campo complesso

ha due soluzioni,  +i  e  -i.

Ogni numero complesso si definisce come:

in cui a e b sono numeri reali;

 a  è detta la parte reale di  z  (ovvero  a = Re(z) )

b  è detta la parte immaginaria di  z  (ovvero b = Im(z) ).

Se  a = 0  il numero complesso si dice immaginario puro.

Se  b = 0  il numero si dice reale.

L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con  C  e rappresenta una estensione algebrica di  R in quanto, se Im(z)=0, un numero complesso diventa reale.

Sull'insieme dei numeri complessi si possono effettuare le usuali quattro operazioni definite nel seguente modo:

Operazione

Regola

Addizione

Sottrazione

Prodotto

Divisione

 

In questo modo si può generalizzare la teoria delle equazioni polinomiali pervenendo

al fondamentale risultato che :

Ogni equazione polinomiale di grado  n 

ha  n  soluzioni complesse (reali o contenenti i).

 

Il numero complesso :


si chiama
complesso coniugato di


Di un numero complesso

si definisce il modulo o valore assoluto

in modo che :

cioè


Se il numero è reale (Im(z)=0) il modulo coincide

con il valore assoluto definito nel campo reale.
I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano così come i numeri reali possono essere rappresentati come punti su una retta orientata.

La conoscenza e l'uso dei numeri complessi è molto importante in diversi settori della scienza, specialmente per la soluzione di molte equazioni differenziali.

I numeri complessi furono introdotti, in un modo molto casuale, dal matematico italiano Raffaele Bombelli (1526-1573), ma solo dopo più di 100 anni iniziarono ad essere utili, in modo significativo, nella matematica.

Vedi anche simbologia sui numeri complessi.