Esame di Matematica Generale e Finanziaria.
Compito unico |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Serie |
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Teoria |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Non richiesto (vedi nota più avanti)
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo di esistenza si può affermare che
la funzione non è né pari né dispari.
Calcolo dei limiti:
Quindi esiste un asintoto verticale, nessuno orizzontale e nessuno obliquo.
Calcolo della derivata:
Perciò
Ma x=-2 non appartiene al dominio della funzione.
Quindi la funzione, f(x) ha un minimo (assoluto) in x=2
e sarà decrescente per x<2 e crescente per x>2.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(1)
implica che il r(A)=2
Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema
di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=1 e x=a)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=1 si ha la soluzione
.
3) Studiare per quali valori della x
converge la seguente serie:
Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che
da cui
Dunque se
la serie converge con somma
per x=0 la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.
Parlare delle funzioni, in particolare di quelle
continue e fare alcuni esempi.
(Si veda il testo del corso)