La funzione esponenziale
La funzione esponenziale è una applicazione
così definita:
dove a è un numero positivo diverso da 1.
Se a > 1, la funzione f è monotona crescente; se 0 < a < 1 , f è monotona decrescente, come mostrano le figure:
a >
1.
0 < a < 1.
Un caso
particolare di funzione esponenziale è quello in cui a = e, dove e
è il numero di Nepero (circa 2,7…).
Esistono diversi fenomeni che possono essere decritti da una funzione esponenziale, e molti di questi sono nel campo economico.
Thomas Robert Malthus (1766-1834), economista inglese, nel 1798 pubblicò il “Saggio sulla popolazione”, dove analizzava il rapporto tra la dimensione della popolazione mondiale e la disponibilità dei mezzi di sussistenza. In quest’ opera affermò che la crescita della popolazione ha un andamento esponenziale nettamente superiore all'aumento delle risorse alimentari, che segue, invece, un modello lineare; conseguenza di questo inevitabile squilibrio sarebbe stata l'impossibilità, per la popolazione, di alimentarsi a sufficienza.
Malthus sosteneva che solo eventi come carestie, guerre e pestilenze potessero
riuscire a frenare la tendenza ad un aumento rapidissimo della popolazione.
Nella realtà si è poi riscontrato che l'inquinamento ambientale, l'accumularsi di rifiuti tossici,
l'esaurimento delle risorse sono altri fattori che inibiscono lo sviluppo esponenziale della popolazione,
riducendo progressivamente il tasso di crescita che si stabilizza su un valore Nmax di individui e non supera tale numero.
Se depositiamo una somma unitaria, per esempio 1 euro, al termine del primo anno,
il capitale depositato diventerà
Il nuovo capitale in deposito, detto montante, sarà, quindi:
Al termine del terzo anno, rifacendo le stesse operazioni precedenti, si avrà
E cosi via.
Dopo n anni di deposito, il montante sarà