Esame di Matematica Generale.

 

 

Cagliari Aprile 2003

 

 

 

Compito 1

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

Compito 2

Studio Funzione

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può

 

affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Quindi non esiste alcun asintoto.

 

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per

 

 

e decrescente nella parte restante del dominio.

 

Nel punto di ascissa x = 1/ 5 la funzione ha un massimo

 

e nel punto di ascissa x = 1 un minimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e z=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

 

In conclusione per t=1 si ha la soluzione

 

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del concetto di continuità

e fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può

 

affermare che la funzione non è pari.

 

Non è neanche dispari in quanto, essendoci l’esponenziale,

 

è semplice dimostrare che esiste almeno un x0 tale che

 

 

Per esempio con  x0 = 1 si ha

 

 

mentre

 

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Quindi l’asse y è un asintoto verticale,

 

mentre l’asse x è un asintoto orizzontale sinistro.

 

Non esiste nessun asintoto obliquo.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per x > 1/3

 

e decrescente  per  x < 1 /3.

 

Il punto di ascissa x = 1/ 3  è un punto di minimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Risolvere il seguente sistema lineare

 

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

implica che il r(A)=2

 

Inoltre

 

 

Implica che il r(Ab)=3 se t¹-1 e in tal caso per

 

il teorema di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=-1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=-1 e z=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t=-1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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3) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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4) Parte teorica:

Parlare del concetto di limite

e fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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