Potenza ad esponente intero positivo.
Assegnati un numero reale x ed un numero naturale n,
si chiama potenza di base x ed esponente n il prodotto di xper se stesso n volte:
Osserviamo che, per convenzione, si pone x 0 = 1; inoltre si considera la base x ¹ 0.
Proprietà .
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1a proprietà: Il prodotto tra due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base comune alle potenze e per esponente la somma degli esponenti. |
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2a proprietà: Il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base comune alle potenze e per esponente la differenza degli esponenti. |
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3a proprietà: La potenza di una potenza è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. |
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4a proprietà: Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. |
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5a proprietà: Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. |
Potenza ad esponente intero negativo.
Assegnati un numero reale x non nullo ed un numero naturale p,
si definisce potenza di base x ed esponente – p :
Le proprietà delle potenze con esponente intero negativo sono le stesse di quelle enunciate per le potenze con esponente intero positivo.
Potenza ad esponente razionale.
Assegnati un numero reale x non negativo e due numeri p e q interi positivi,
si definisce potenza di base x ed esponente p/ q:
Da questa definizione risulta comodo passare dalla notazione esponenziale a quella
con la radice e viceversa, a seconda che sia più utile l’una o l’altra notazione.
Le proprietà delle potenze con esponente razionale sono le stesse di quelle enunciate per le potenze con esponente intero positivo.
Potenza ad esponente irrazionale.
Un numero irrazionale y (cioè Î R - Q) è un numero con infinite cifre decimali;
poiché è impossibile scrivere un numero infinito di cifre dopo la virgola,
nella pratica y può essere individuato, con più o meno precisione,
da due classi di numeri razionali che rappresentano successive approssimazioni,
per difetto e per eccesso, di y.
Esempio.
Il numero può essere individuato dalle due
successioni:
1 1,4 1,41
1,414 1,4142 ....
2 1,5 1,42 1,415 1,4143 ....
Quindi, data la potenza x y , dove x Î R e y è un numero irrazionale,
in cui y è approssimato da y’ e da y” ,
x y sarà approssimato da x y’ e x y’’ rispettivamente.