NUMERI NATURALI: N
I numeri naturali sono entità indefinibili.
Sono dati "a priori" come oggetti di cui abbiamo tutti innata intuizione.
L’insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo N e i suoi elementi sono:
Inoltre è possibile definire due operazioni binarie intere, l’addizione (+) e la moltiplicazione (×),
ma per una definizione rigorosa di questo insieme,
è necessario introdurre degli assiomi.
Nel linguaggio scientifico, quando un concetto o una affermazione non è spiegabile in termini logici a partire da altri concetti o affermazioni,
si dice che quel qualcosa è un assioma, un postulato.
Le altre affermazioni che sono derivabili logicamente da altre affermazioni si chiamano, invece, teoremi.
Assiomi:
N°1 |
(a + b) + c = a + (b + c) |
Proprietà associativa dell'addizione |
N°2 |
a + b = b + a |
Proprietà commutativa dell'addizione |
N°3 |
(ab)c = a(bc) |
Proprietà associativa della moltiplicazione |
N°4 |
ab = ba |
Proprietà commutativa della moltiplicazione |
N°5 |
a + 0 = 0 + a = a |
Esiste l'elemento neutro 0 per la somma
|
N°6 |
a× 1 = 1× a = a |
Esiste l'elemento neutro 1 per il prodotto
|
N°7 |
a× (b + c) = (a× b) + (a× c) |
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione |
N°8 |
Dati a ¹ b, esiste un unico numero naturale c ¹ 0 tale che a = b + c (se a > b), oppure b = a + c (se a < b) |
Ordinamento totale |
N°9 |
a + b = a + c se e solo se b = c |
Leggi di cancellazione rispetto alla somma |
N°10 |
se a ¹ 0 allora: ab = ac se e solo se b = c |
Leggi di cancellazione rispetto al prodotto |
A partire da questi dieci assiomi è possibile dimostrare parecchie proprietà di N.
Tali assiomi, però, non caratterizzano completamente l'insieme dei numeri naturali.
Infatti una delle caratteristiche più importanti di N è che N è un insieme infinito: introducendo l’operazione "s" di passaggio al successore,
scelto comunque un numero naturale n,
possiamo sempre scrivere il suo successore, cioè s(n):=n+1.
N è generato, a partire da un suo primo elemento (lo zero) e
dall’operazione di passaggio al successore:
0 Þs(0)=1 Þ s(s(0))=s(1)=2 Þ s(s(s(0)))=s(2)=3
Þ
…
Note:
NON vale la proprietà
distributiva della addizione rispetto alla moltiplicazione,
cioè non è vero in generale che a + (b× c) = (a + b) × (a + c).
Anche gli elementi
neutri non si comportano in modo simmetrico rispetto
alle due operazioni (+) , (×) : il prodotto di ogni numero per 0 dà 0,
ma non è vero che la somma di ogni numero con 1 dia 1.
N = {0, 1, 2, 3, ...,
n, ...} sulla retta reale forma una successione di punti a distanza 1, partendo
da 0 verso destra.
Si indica con N0 l’insieme
{1, 2, 3, ..., n, ...}