La logica è la disciplina filosofica che studia le forme del ragionamento corretto.
Dal tempo di Aristotele fino al 1800 essa è stata utilizzata in campo filosofico soprattutto nelle argomentazioni di tipo metafisico,
ma dalla seconda metà del XIX secolo la logica si è avvicinata sempre di più alla matematica.
La logica matematica nasce con Boole e con la sua idea di applicare alla vecchia logica formale,
di provenienza aristotelica, le regole e i procedimenti dell'algebra.
Essa riprende su basi nuove le intuizioni svolte da Leibniz in questa direzione molto tempo prima.
Frege sviluppa questo progetto, e Peano gli dà rigore e chiarezza simbolica.
Così ogni ragionamento può essere ridotto ad un puro calcolo formale.
La logica simbolica si occupa della formalizzazione del linguaggio naturale e
della costruzione di calcoli capaci di garantire ragionamenti rigorosi e non intuitivi.
La logica viene utilizzata per l'analisi e la costruzione di teorie; esistono infatti diverse logiche,
ciascuna delle quali si adatta alla particolare teoria cui si riferisce.
Definiamo enunciato un’affermazione sensata, relativa a uno o più oggetti determinati dal nostro discorso, per la quale si possa stabilire, almeno in via di principio, se è vera o falsa.
Per esempio, “5 + 2 = 7” e “4 è un numero primo” sono enunciati, mentre non lo sono affermazioni del tipo “x + 2 = 7”, o “x è un numero primo”.
In queste ultime compare, infatti, una variabile individuale.
Se, però, introduciamo dei quantificatori che agiscono sulla variabile individuale, anche di queste affermazioni possiamo stabilire la veridicità o la falsità.
Distinguiamo due tipi di quantificatori:
" (si legge “per ogni”) quantificatore universale;
$ (si legge “esiste”) quantificatore esistenziale.
Le affermazioni che contengono una o più variabili individuali vengono dette predicati.
A partire dagli enunciati e dai predicati se ne possono ottenere altri attraverso i connettivi logici.
Noi introduciamo, in particolare, i connettivi binari.
Un connettivo binario è una ben determinata legge che associa a due variabili enunciative, un enunciato.
I connettivi binari più importanti sono:
la congiunzione Ù (si legge “e”) ;
la disgiunzione o alternativa Ú (si legge “o”) ;
l’implicazione Þ (si legge “implica” oppure “se…allora”) ;
la doppia implicazione Û (si legge “se e solo se”) .
Esiste inoltre un connettivo unario molto importante :
la negazione Ø (si legge “non”) .
Per ogni connettivo possiamo costruire la tavola di verità ad esso associata, cioè una tabella in cui vengono riportati i valori di verità corrispondenti ad ogni combinazione.
La tavola di verità della negazione è
A |
Ø A |
V |
F |
F |
V |
che si legge così: se la proposizione A è vera, la proposizione Ø A (cioè la negazione di A) è falsa e, viceversa, se A è falsa, Ø A è vera.
La tavola di verità dei connettivi binari introdotti è:
A |
B |
A
Ù B |
A
Ú B |
A
Þ B |
A
Û B |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
V |
Osserviamo che nell’ implicazione logica “vero implica falso” è falso, mentre “falso implica vero” è vero; un esempio può chiarire meglio le cose:
A = “fuori piove” ;B = “prendo l’ombrello” ;
“vero implica falso” = “se fuori piove, allora non prendo l’ombrello”.
Si vede che il valore di verità di quest’ultima proposizione è falso, in quanto non è logico che, se fuori piove, non si prenda l’ombrello!
Osserviamo invece la proposizione:
“falso implica vero” = “se fuori non piove, allora prendo l’ombrello”.
Questa proposizione è vera perché, anche se fuori non piove, chi esce potrebbe comunque prendere l’ombrello, che potrebbe servire in caso piovesse dopo.
Si chiama tautologia un predicato che assume sempre il valore di verità V qualunque siano i valori di verità delle variabili che lo compongono.
Si chiama negazione un predicato che assume sempre il valore di verità F qualunque siano i valori di verità delle variabili che lo compongono.
Deduzione logica.
Supponiamo che A e B siano due proposizioni, e che l’esser vero di A ci consenta di dedurre, con un ragionamento logico, che anche la proposizione A Þ B è vera. Allora anche B è vera.
La proposizione A si chiama ipotesi, e B si chiama tesi; la proposizione A Þ B è detta dimostrazione.
La terna formata dall’ipotesi, dalla tesi e dalla dimostrazione costituisce il teorema.
Il procedimento in cui si dimostra che A Þ B è detto dimostrazione diretta.
Un altro tipo di dimostrazione è quella per assurdo, in cui si suppone che B (la tesi) sia falsa e, se si riesce a dimostrare che Ø B ÞØ A, si ottiene una contraddizione perché l’ipotesi era A, non Ø A.
Quindi supporre B falso non era lecito, da cui si conclude che l’ipotesi implica la tesi, cioè il teorema è dimostrato.
Osserviamo che, nonostante il procedimento di dimostrazione sia diverso, le proposizioni A Þ B e Ø B ÞØ A sono equivalenti dal punto di vista logico.