Potenze ad esponente reale

Potenza ad esponente intero positivo.

Assegnati un numero reale x ed un numero naturale n,

si chiama potenza di base x ed esponente n il prodotto di xper se stesso n volte:

Osserviamo che, per convenzione, si pone x 0 = 1; inoltre si considera la base x ¹ 0.

Proprietà .

1a proprietà:

Il prodotto tra due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base comune alle potenze e per esponente la somma degli esponenti.

2a proprietà:

Il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base comune alle potenze e per esponente la differenza degli esponenti.

 

3a proprietà:

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

4a proprietà:

Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

5a proprietà:

Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

 

Potenza ad esponente intero negativo.

Assegnati un numero reale x non nullo ed un numero naturale p,

si definisce potenza di base x ed esponente p :

Le proprietà delle potenze con esponente intero negativo sono le stesse di quelle enunciate per le potenze con esponente intero positivo.

Potenza ad esponente razionale.

Assegnati un numero reale x non negativo e due numeri p e q interi positivi,

si definisce potenza di base x ed esponente p/ q:

Da questa definizione risulta comodo passare dalla notazione esponenziale a quella

con la radice e viceversa, a seconda che sia più utile l’una o l’altra notazione.

Le proprietà delle potenze con esponente razionale sono le stesse di quelle enunciate per le potenze con esponente intero positivo.

Potenza ad esponente irrazionale.

Un numero irrazionale  y (cioè Î R - Q) è un numero con infinite cifre decimali;

poiché è impossibile scrivere un numero infinito di cifre dopo la virgola,

nella pratica y può essere individuato, con più o meno precisione,

da due classi di numeri razionali che rappresentano successive approssimazioni,

per difetto e per eccesso, di y.

Esempio.
Il numero  può essere individuato dalle due successioni:
1    1,4    1,41    1,414    1,4142    ....

2   1,5    1,42    1,415    1,4143    ....

Quindi, data la potenza x y , dove x Î R e y è un numero irrazionale,

in cui y è approssimato da y’ e da y” ,

x y sarà approssimato da x y’  e x y’’ rispettivamente.