Esame di Matematica Generale.

 

Cagliari 23 Gennaio 2004

 

 

Compito 1

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

Compito 2

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

Compito 3

Sistema Lineare

Integrale

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ -28/5 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=-28/5, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=-28/5 e z=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t = -28/5 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

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3) Parte teorica:

Definire una serie numerica

e parlare del concetto di convergenza.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 1 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=1, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=1 e z=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t = 1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2) Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

 

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3) Parte teorica:

Parlare dello sviluppo in serie di Taylor.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 3

 

 

 

 

 

 

 

1)            Risolvere il seguente sistema lineare

al variare del parametro t:

 

 

 

 

Essendo il Det(A)=0 e

 

(1)    

 

risulta r(A)=2.

 

Inoltre

 

 

implica che il r(Ab)=3 se t ¹ 16/5 e in tal caso per il teorema

 

di Rouché Capelli non esistono soluzioni.

 

Nel caso t=16/5, essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli

 

si può affermare che il rango della matrice completa

 

è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).

 

In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono

 

¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:

 

(con t=16/5 e z=a)

 

 

Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni

 

 

 

In conclusione per t = 1 si ha la soluzione

 

.

 

 

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2)            Calcolare il seguente integrale:

 

 

 

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3) Parte teorica:

Parlare del concetto di integrale.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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