Monomi e polinomi

Chiamiamo espressione algebrica ogni espressione in cui compaiono

le quattro operazioni con numeri reali, alcuni dei quali sono rappresentati da lettere.

Possiamo distinguere tra espressioni intere, come

e frazionarie, come

Le espressioni sono formate da monomi, cioè da espressioni algebriche costituite

dal prodotto di fattori numerici e letterali (esempio 2x, 3ab etc.).

La parte numerica è detta coefficiente, l’altra parte letterale.

Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale,

(per esempio sono simili) ;

se hanno anche lo stesso coefficiente si dicono uguali;

se hanno lo stesso coefficiente ma di segno opposto si dicono opposti.

Si può definire il grado di un monomio rispetto a una particolare lettera

come l’esponente con cui essa vi compare.

Il grado assoluto del monomio è dato invece dalla somma

degli esponenti delle lettere che lo compongono.

Tra monomi si possono definire varie operazioni.

Somma:

in generale la somma di più monomi non è un monomio;

se si sommano monomi simili se ne ottiene un terzo, simile ai precedenti,

che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti:

        

Prodotto:

il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti,

e per parte letterale il prodotto delle componenti della parte letterale dei fattori.

Esempio:

          

Quoziente:

esiste quando il monomio divisore è non nullo e il divisore è un sottomultiplo del dividendo; il coefficiente è dato dalla divisione dei coefficienti del dividendo e del divisore, mentre la parte letterale deve avere termini con esponente maggiore di quello dei termini del divisore.

Esempio:

               non è divisibile.

Ricordiamo che il reciproco di un monomio non nullo è quel monomio che,

moltiplicato per il primo, dà come risultato 1.

Esempio:

Inoltre risulta, per esempio:

Un polinomio (binomio, trinomio, etc.) è un’espressione algebrica

costituita dalla somma di più monomi.

Esempio:

Analogamente a quanto detto per i monomi, si può definire il grado di un polinomio,

rispetto a una particolare lettera, come il massimo grado con cui tale lettera compare in esso.

Il grado assoluto del polinomio è dato invece dal grado massimo

tra i gradi dei monomi che lo compongono.

Si chiama polinomio omogeneo un polinomio costituito da monomi dello stesso grado.

Esempio:

Osservazione.

In espressioni di questo tipo, le lettere che compaiono rappresentano

delle variabili oppure dei valori fissi, detti costanti.

Occorre distinguere sempre le costanti dalle variabili per poter effettuare correttamente le operazioni.

Esempio: nell’espressione

se consideriamo a e b come costanti,

il polinomio è costituiti da due monomi simili che si possono sommare:

se, invece, consideriamo anche a e b come variabili,

i due monomi non sono simili in quanto sono costituiti da diversa parte variabile.

In genere viene sempre specificato cosa indicano le lettere utilizzate.

Anche per i polinomi si possono definire varie operazioni.

Somma.

La somma di polinomi è un polinomio,

ottenuto addizionando i singoli monomi di ogni polinomio della somma,

riducendo tutti i monomi simili.

Esempio:

=

Prodotto di un monomio per un polinomio.

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini

si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio.

Esempio:

Divisione di un polinomio per un monomio.

Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio non nullo,

se esiste un altro polinomio il cui prodotto per il monomio è uguale al polinomio dato;

quindi ciascun termine del polinomio deve essere divisibile per il monomio.

Esempio:

In particolare, se il polinomio e il monomio divisore dipendono da una sola variabile, si ha:

Prodotto di due polinomi.

Il prodotto di due polinomi è il polinomio ottenuto moltiplicando

ogni termine di uno di essi per tutti i termini dell’altro

(viene applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione).

Esempio:

Ricordiamo alcuni prodotti di polinomi, detti prodotti notevoli:

Divisione di due polinomi.

Consideriamo i polinomi in una sola variabile, ordinati secondo le potenze decrescenti della stessa.

Il polinomio si dice completo se la variabile vi compare con tutte le sue potenze, fino a quella nulla.

Esempio:

 è completo,

  non lo è.

Il polinomio P(x) si dice divisibile per il polinomio D(x), se esiste un polinomio Q(x) tale che:

D(x) si dice divisore e Q(x) si dice quoziente.

Esempio:

dati

 

e

 Q(x) = x+2  risulta il quoziente tra P(x) e D(x), in quanto si ha

.

In realtà si dimostra che, se P(x) e D(x) sono due polinomi,

con grado rispettivamente n e m, con n ³ m,

esistono (sempre) due polinomi unici, Q(x) e R(x), tali che

dove il grado di R(x) è minore del grado di D(x), e il grado di Q(x) è pari a n – m.

R(x) è detto resto della divisione.

Uno dei procedimenti più usati per ricavare il quoziente e il resto è la regola di Ruffini,

che possiamo riassumere schematicamente:

1)  si ordinano i due polinomi P(x) e D(x) secondo le potenze decrescenti della variabile, indicando sempre con uno 0 i termini mancanti;

2)   si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, ottenendo il primo termine del quoziente;

3)  si moltiplica il primo termine del quoziente per il divisore e si sottrae il risultato dal dividendo, ottenendo il primo resto parziale;

4)  si ripete dal punto 2) utilizzando il resto parziale invece del dividendo finché il resto parziale ha grado inferiore al divisore. Questo è il resto della divisione.

Esempio:

 

Citiamo anche il

Teorema di Ruffini.

Il polinomio P(x) è divisibile esattamente per il binomio (x+a) se, e solo se, P(-a) = 0,

cioè se il polinomio P(x) si annulla per x = -a.

Scomposizione di polinomi.

Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo sotto forma di prodotto di due o più polinomi,

o di monomi e polinomi, di grado minore del grado di partenza.

Abbiamo visto, per esempio, che

può scriversi anche come

La scomposizione dei polinomi è necessaria per semplificare i calcoli letterali,

soprattutto nelle frazioni, ed è utilissima nella risoluzione delle equazioni.

Una delle prime operazioni da fare per “semplificare” la scrittura di un polinomio

è il raccoglimento a fattor comune.

Esempio:

Supponiamo che tutti i termini di un polinomio abbiano un fattore in comune con tutti gli altri.

Allora, applicando la proprietà inversa della proprietà distributiva ,

possiamo scrivere il polinomio come prodotto fra il fattore comune ed un nuovo

polinomio i cui termini sono ottenuti dividendo il polinomio iniziale per tale fattore.

Per individuare il fattore comune in un polinomio si cerca il

massimo comune divisore M.C.D. fra i suoi termini.

Frazioni algebriche.

Si chiama così una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono delle espressioni algebriche. La prima cosa da fare di fronte a una frazione è renderla più semplice possibile,

cioè ridurla ai minimi termini.

Per fare ciò si scompongono numeratore e denominatore come detto sopra,

si eliminano gli eventuali fattori uguali e si scrive la frazione con i termini restanti.

Esempio:

Per la somma e la differenza di frazioni algebriche si usa lo stesso procedimento usato

per la somma di due frazioni numeriche: occorre scomporre i denominatori,

fare il minimo comune multiplo, sommare i termini simili e semplificare,

se possibile, il numeratore col denominatore.

Esempio:


Nel prodotto di frazioni algebriche occorre scomporre i numeratori e denominatori,

eliminare i termini uguali che compaiono sia al numeratore che al denominatore,

e moltiplicare i numeratori dei vari fattori, e i denominatori dei vari fattori.

Esempio:

.

Quando si esegue il quoziente fra due frazioni algebriche si deve riscrivere

la prima moltiplicata per l’inverso della seconda, cioè, per esempio:

.

La potenza di una frazione algebrica si esegue elevando

a potenza sia il numeratore che il denominatore.

Esempio:

.