Operazioni con i numeri reali
Nell’insieme dei numeri reali R si possono definire due operazioni, la somma e il prodotto:

        e     

Esse godono delle seguenti proprietà:

1)     a + b = b + a   e    a × b = b × a    

        (proprietà commutativa) ;

2)     a + ( b + c ) = ( a + b ) + c   e      a × ( b × c ) = ( a × b )  × c

(proprietà associativa);

3)     a + 0 = 0 + a = a        e        a × 1 = 1 × a = a       

(esistenza dell’elemento neutro);

4)              a + ( - a) = 0

    (esistenza dell'opposto)

e

a × ( 1 / a ) = 1   " a ¹ 0       

(esistenza dell'inverso);

5)              ( a + b) × c = ( a × c ) + ( b × c)

(proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto).

 

Spesso, quando non ciò non genera confusione, si omette il punto che denota il prodotto.

Proprietà di R.

R è totalmente ordinato, cioè dati a, b ÎR , risulta a £  b, oppure b £  a .

Valgono le relazioni:

a £  b   Þ      a  + c £  b + c      " c ÎR ;

a £  0 ,  b £Þ    a b £ 0 .

Esistono le operazioni inverse della addizione e della moltiplicazione,

dette rispettivamente sottrazione (indicata con il simbolo -)

 e divisione (indicata con il simbolo : o anche / ), così definite:

x - y = x + ( - y )      e   x : y = x × ( 1 / y )       per  y ¹ 0 .

Infine ricordiamo che:

1)     a ³ b Û- a £- b ;

2)     a > 0 Û ( 1 / a ) > 0 ;

3)     a ³ b > 0 Þ ( 1 / a ) £ (1 / b ) .

Per la funzione valore assoluto in R, rimandiamo alla sezione Valore assoluto.

Per mettere in evidenza altre proprietà di R,

osserviamo che l’insieme dei numeri irrazionali I = R - Q  è infinito.

Infatti si può dimostrare che non è possibile stabilire alcuna

corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri naturali N

e l'insieme dei numeri irrazionali, cioè,

comunque si associ ad ogni numero naturale n un numero irrazionale,

rimangono infiniti numeri irrazionali “liberi”.

Poiché N è un insieme numerabile, risulta che I è non numerabile,

ed è quindi “più numeroso” dell'insieme dei numeri razionali Q.

Poiché I Ì R ne discende che anche R è non numerabile.

Inoltre R è completo.

Ordinamento dei reali.

Esiste un criterio per ordinare i numeri reali, che è bene ricordare.

Un numero reale può essere espresso come un numero con un numero finito

o infinito di cifre decimali, a seconda che sia razionale o irrazionale.

Consideriamo dunque due numeri reali

r1 = a , a1 a2 a3            e           r2 = b, b1 b2 b3

(a; a1; a2;  a3 ;….rappresentano le cifre del numero)

Diciamo che r1 < r2 se a < b . Se a = b, diciamo che r1 < r2 se a1 < b1.

Se a1 = b1 ,diciamo che r1 < r2 se a2 < b2, e così via.

Sistema decimale e sistema binario.

Il funzionamento di un generico sistema per l’elaborazione dell’informazione è basato sull’uso di dispositivi elettronici che operano su grandezze binarie,

cioè tali che possono assumere 2 stati fisici (on/off, vero/falso etc.),

che vengono di solito indicati con 1, 0 (simboli che non hanno significato numerico).

Il calcolatore , per esempio, “ragiona” usando la logica delle proposizioni dell’algebra booleana,

che permette di determinare il valore di verità (0 o 1) di una proposizione

attraverso alcuni teoremi fondamentali.

In questo contesto è quindi interessante ricordare cos’è il sistema di numerazione binario.

E’ sempre possibile esprimere un qualunque numero reale con la notazione posizionale

(in cui le cifre assumono valore diverso a seconda della posizione che occupano)

in una base fissata b avendo a disposizione b simboli diversi.

Quello che usiamo noi è il sistema decimale.

Per esempio

259.12 = 2 × 102 + 5 × 101 + 9 × 100  + 1 × 10-1 + 2 × 10-2 .

Nel sistema binario si ha b = 2,  e come insieme di simboli si prende generalmente l’insieme {0,1}.

In tal modo possiamo passare dal sistema binario a quello decimale e viceversa.

(10110)= 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 2 + 0 × 2= 16 + 4 + 2 = (22)10 ;

(0.1001)2 = 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 = 0.5 + 0.0625 = (0.5625)10 .