Operazioni con
i numeri reali
Nell’insieme
dei numeri reali R si possono definire due operazioni, la somma
e il prodotto:
e
Esse godono delle seguenti proprietà:
1) a + b = b + a e a × b = b × a (proprietà commutativa) ; |
2) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c e a × ( b × c ) = ( a × b ) × c (proprietà associativa); |
3) a + 0 = 0 + a = a e a × 1 = 1 × a = a (esistenza dell’elemento neutro); |
4) a + ( - a) = 0 (esistenza dell'opposto) e a × ( 1 / a ) = 1 " a ¹ 0 (esistenza dell'inverso); |
5) ( a + b) × c = ( a × c ) + ( b × c) (proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto). |
Spesso, quando non ciò non genera confusione, si omette il punto che denota il prodotto.
Proprietà di R.
R è totalmente ordinato, cioè dati a, b ÎR , risulta a £ b, oppure b £ a .
Valgono le relazioni:
a £ b Þ
a + c £ b + c " c ÎR ;
a £ 0 , b £ 0 Þ a b £ 0 .
Esistono le operazioni inverse della addizione e della moltiplicazione,
dette rispettivamente sottrazione (indicata con il simbolo -)
e divisione (indicata con il simbolo : o anche / ), così definite:
x - y = x + ( - y ) e x : y = x × ( 1 / y ) per
y ¹ 0 .
Infine ricordiamo che:
1) a ³ b Û- a £- b ;
2) a > 0 Û ( 1 / a ) > 0 ;
3) a ³ b > 0 Þ ( 1 / a ) £ (1 / b ) .
Per la funzione valore assoluto in R, rimandiamo alla sezione Valore assoluto.
Per mettere in evidenza altre proprietà di R,
osserviamo che l’insieme dei numeri irrazionali I = R - Q è infinito.
Infatti si può dimostrare che non è possibile stabilire alcuna
corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri naturali N
e l'insieme dei numeri irrazionali, cioè,
comunque si associ ad ogni numero naturale n un numero irrazionale,
rimangono infiniti numeri irrazionali “liberi”.
Poiché N è un insieme numerabile, risulta che I è non numerabile,
ed è quindi “più numeroso” dell'insieme dei numeri razionali Q.
Poiché I Ì R ne discende che anche R è non numerabile.
Inoltre R è completo.
Ordinamento dei reali.
Esiste un criterio per ordinare i numeri reali, che è bene ricordare.
Un numero reale può essere espresso come un numero con un numero finito
o infinito di cifre decimali, a seconda che sia razionale o irrazionale.
Consideriamo dunque due numeri reali
r1 = a , a1 a2 a3 … e r2 = b, b1 b2 b3 …
(a; a1; a2; a3 ;….rappresentano le cifre del numero)
Diciamo che r1 < r2 se a < b . Se a = b, diciamo che r1 < r2 se a1 < b1.
Se a1 = b1 ,diciamo che r1 < r2 se a2 < b2, e così via.
Sistema decimale e sistema binario.
Il funzionamento di un generico sistema per l’elaborazione dell’informazione è basato sull’uso di dispositivi elettronici che operano su grandezze binarie,
cioè tali che possono assumere 2 stati fisici (on/off, vero/falso etc.),
che vengono di solito indicati con 1, 0 (simboli che non hanno significato numerico).
Il calcolatore , per esempio, “ragiona” usando la logica delle proposizioni dell’algebra booleana,
che permette di determinare il valore di verità (0 o 1) di una proposizione
attraverso alcuni teoremi fondamentali.
In questo contesto è quindi interessante ricordare cos’è il sistema di numerazione binario.
E’ sempre possibile esprimere un qualunque numero reale con la notazione posizionale
(in cui le cifre assumono valore diverso a seconda della posizione che occupano)
in una base fissata b avendo a disposizione b simboli diversi.
Quello che usiamo noi è il sistema decimale.
Per esempio
259.12 = 2 × 102 + 5 × 101 + 9 × 100 + 1 × 10-1 + 2 × 10-2 .
Nel sistema binario si ha b = 2, e come insieme di simboli si prende generalmente l’insieme {0,1}.
In tal modo possiamo passare dal sistema binario a quello decimale e viceversa.
(10110)2 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 2 + 0 × 20 = 16 + 4 + 2 = (22)10 ;
(0.1001)2 = 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 = 0.5 + 0.0625 = (0.5625)10 .