Esame di Matematica Generale.

 

Cagliari Dicembre 2002

 

Compito 1

Studio Funzione

Teoria

 

 

Compito 2

Studio Funzione

Teoria

 

 

Compito 3

Studio Funzione

Teoria

 

 

Compito 4

Studio Funzione

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

C’è un’intersezione con l’asse y nel punto (0,ln4).

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il campo di esistenza

 

si può affermare che la funzione é pari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Non ci sono asintoti orizzontali, né verticali né obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per  x > 0  e decrescente per x < 0.

 

 

Calcolo della derivata seconda:

 

 

Perciò

 

 

 

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà concava per

 

 

 

 

 convessa per

 

 

 

 

E quindi esistono due flessi per

 

 

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di continuità.

Fare alcuni esempi di funzioni continue e non.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

L’unica intersezione con gli assi è nell’origine.

 

Negli altri punti la funzione è sempre negativa.

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando anche il segno e il dominio di f(x),

 

si può affermare che la funzione è pari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

Quindi le rette x = -1 e x = 1 sono asintoti verticali;

 

non ci sono asintoti orizzontali e obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per –1 < x < 0

 

e decrescente per 0 < x < 1.

 

L’origine è un punto di massimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di limite di una funzione

e del suo legame con quello di continuità.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 3

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

Perciò l’unica intersezione con l’ asse x è nel punto (2,0) ,

 

e, negli altri punti, la funzione è sempre positiva.

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il segno e il dominio di f(x)

 

si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

 

 

La retta di equazione y = 1 è un asintoto orizzontale,

 

e le rette x = -1 e x = 1 sono asintoti verticali;

 

non ci sono asintoti obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà sempre  crescente nel suo campo di esistenza.

 

Non ci sono né massimi, né minimi.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di derivata,

in particolare del suo significato geometrico.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 4

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

Le intersezioni con l’asse x sono nei punti (-1,0) e (1,0).

 

Negli altri punti la funzione è sempre positiva.

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il segno e il dominio di f(x),

 

 si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

 

Quindi la retta x = 0 è un asintoto verticale.

 

Non ci sono asintoti verticali né obliqui.

 

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà sempre crescente.

 

Non ci sono né massimi, né minimi.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di limite.

Fare alcuni esempi.

Considerare il caso delle forme indeterminate e spiegarlo.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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