Esame di Matematica Generale.

 

Cagliari 28 Novembre 2003

 

Compito 1

Studio Funzione

Teoria

 

 

Compito 2

Studio Funzione

Teoria

 

 

Compito 3

Studio Funzione

Teoria

 

 

 

Compito 4

Studio Funzione

Teoria

 

 

 

 

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione si può affermare

 

che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Quindi l’asse delle x è un asintoto orizzontale destro,

 

mentre non ci sono asintoti verticali e obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente

 

per 0 < x < 1  e decrescente altrove.

 

Infine in x=2 avrà un massimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di limite

e del suo legame col concetto di funzione continua.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 2

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

 

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il segno e

 

il dominio di f(x) si può affermare che la funzione è pari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

Quindi la retta y=1 è un asintoto orizzontale,

 

mentre non ci sono asintoti verticali e obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

Perciò la funzione non si annulla mai nel dom(f). Inoltre

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per x > 0 e decrescente per x < 0.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di derivata di una funzione

e del suo legame con quello di continuità.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 3

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

Perciò non ci sono intersezioni con gli assi,

 

e la funzione è sempre negativa nel suo dominio.

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il segno e il dominio

 

di f(x) si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

Quindi non ci sono asintoti orizzontali, né verticali, né obliqui.

 

 

Calcolo della derivata:

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per x > 1+

 

 e decrescente per x < 1+.

 

Il punto di ascissa x = 1+ è un punto di massimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di insieme,

di applicazione e di funzione.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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Compito 4

 

 

 

 

  

 

 

 

1) Studiare la funzione :

 

 

Campo di esistenza:

 

 

 

Segno della funzione:

 

 

Ci sono due intersezioni con l’asse x, (-1,0) e (2,0) e una con l’asse y, (0, -2/9).

 

La funzione è positiva per x < -1 e per x > 2.

 

 

 

Eventuali simmetrie:

 

Applicando la definizione e osservando il segno e il dominio

 

di f(x) si può affermare che la funzione non è né pari né dispari.

 

 

Calcolo dei limiti:

 

 

 

Quindi la retta x = 3 è un asintoto verticale e la retta y = 1 un asintoto orizzontale.

 

Non ci sono asintoti obliqui.

 

Calcolo della derivata:

 

 

 

 

 

e quindi la funzione f(x) sarà crescente per 7/5 < x < 3

 

 e decrescente per x < 7/5 e per x > 3.

 

Il punto di ascissa x = 7/5 è un punto di minimo.

 

 

Grafico:

 

 

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2) Parte teorica:

Parlare del concetto di funzione continua.

Fare alcuni esempi.

 

(Si veda il testo del corso)

 

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