Esame di Matematica Generale e Finanziaria.
Compito 1 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
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Serie |
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Teoria |
Compito 2 |
Studio Funzione |
Sistema Lineare |
|
Serie |
|
Teoria |
1) Studiare la funzione :
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può affermare che la funzione non è pari.
Calcolo dei limiti:
Il campo di definizione della f(x) è un intervallo chiuso
e la funzione è continua, perciò non si deve calcolare alcun limite.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi in
la funzione ha un massimo (assoluto),
in
la funzione ha un minimo (assoluto),
mentre per
sarà decrescente e infine per
sarà crescente.
Calcolo della derivata seconda:
Perciò
Essendo
sempre, si ha
e quindi la funzione ha un flesso nell’origine,
mentre per x<0 sarà convessa e infine per x>0 sarà concava.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(1)
implica che il r(A)=2
Implica che il r(Ab)=3 se t¹-1 e in tal caso per il teorema
di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=-1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (1).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=-1 e z=b)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=-1 si ha la soluzione
.
3) Studiare per quali valori della x
converge la seguente serie:
Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che
da cui
Dunque se xÎ(0,1) la serie converge con somma
per x=0 la serie è indeterminata e infine
per i restanti punti la serie è divergente.
Parlare del concetto di derivabilità
e fare alcuni esempi.
(Si veda il testo del corso)
Compito 2 |
Campo di esistenza:
Segno della funzione:
ed essendo la funzione esponenziale sempre positiva, si ha:
Eventuali simmetrie:
Osservando il campo di esistenza (e il segno) si può affermare
che la funzione non è né pari né dispari.
Calcolo dei limiti:
Quindi esistono due asintoti verticali, uno orizzontale e nessuno obliquo.
Calcolo della derivata:
Perciò
e quindi in
la funzione ha un massimo (relativo),
mentre per
sarà decrescente e infine per
sarà crescente.
Calcolo della derivata seconda (non richiesto):
Perciò
sempre.
Essendo
sempre, si ha
e quindi la funzione non ha flessi,
mentre per x>3 sarà convessa e infine per x<3 sarà concava.
Grafico:
2) Risolvere il seguente sistema lineare
al variare del parametro t:
Essendo il Det(A)=0 e
(2)
implica che il r(A)=2
Implica che il r(Ab)=3 se t¹1 e in tal caso per il teorema
di Rouchè Capelli non esistono soluzioni.
Nel caso t=1 essendo tutti gli altri minori di ordine 3 nulli
si può affermare che il rango della matrice completa
è minore di 3, e più precisamente si ha r(Ab)=2 poiché vale (2).
In quest’ultimo caso per lo stesso Teorema esistono
¥1 soluzioni e il sistema è equivalente al seguente:
(con t=1 e z=b)
Da cui, con il metodo di Cramer si trovano le seguenti soluzioni
In conclusione per t=1 si ha la soluzione
.
3) Studiare per quali valori della x
converge la seguente serie:
Essendo una serie geometrica, converge per i valori delle x tali che
da cui
Dunque se
la serie converge con somma
per
la serie è indeterminata e infine per i restanti punti la serie è divergente.
Parlare del concetto di capitalizzazione
e fare alcuni esempi.
(Si veda il testo del corso)