Strumenti di base

Il piano cartesiano.
Consideriamo sul piano due rette orientate (cioè dotate di un verso, indicato da una freccia)

e perpendicolari fra loro.

Il loro punto d’intersezione si chiama origine e viene indicata con la lettera O.

L’asse orizzontale è detto asse delle ascisse e si indica con x (infatti è chiamato anche asse delle x),

mentre quello verticale si chiama asse delle ordinate e viene indicato con y (è detto anche asse y).
L’
origine O divide ciascuna retta orientata in due semiassi;

quello dalla parte della freccia è il semiasse positivo, l’altro il semiasse negativo.
Le quattro parti in cui il piano viene diviso dal sistema di assi cartesiani si chiamano
quadranti e si indicano con i numeri romani  I , II , III  e IV  in senso antiorario a partire dal quadrante costituito dai semiassi positivi di  x  ed  y .


Viene scelto un segmento di lunghezza 1 che rappresenta l’ unità di misura

sia per l’asse delle x che per l’asse delle y.
Rimane così definito sul piano un sistema di assi cartesiani ortogonali. 
Un punto P sul piano viene rappresentato rispetto ad un sistema di assi cartesiani da due numeri,

le sue coordinate, che si ottengono proiettando ortogonalmente il punto P

sugli assi cartesiani e misurando le distanze delle proiezioni dall’origine

(dotandole di segno positivo o negativo a seconda che la proiezione

cada sul semiasse positivo o negativo).
Un punto P quindi viene associato ad una coppia ordinata (x , y)

che rappresenta le coordinate del punto (x è l’ascissa, y è l’ordinata).
Dati due punti, P(x1 , y1) e Q(x2 , y2) del piano è possibile calcolare la distanza  PQ  fra di essi applicando il teorema di Pitagora:



Equazione della retta nel piano cartesiano.

Una retta sul piano ha, rispetto ad un sistema di assi cartesiani, equazione data da:

che rappresenta un generico polinomio di primo grado nelle incognite x ed y.

Ciò significa che le coordinate di ogni punto P(x , y) della retta soddisfano l’equazione.

Considerando il parametro b diverso da 0,

l’equazione della retta può essere posta in una forma più utile

(anche se così facendo si perdono le rette x = costante , ovvero le rette parallele all’asse delle y).

L’equazione della retta risulta:

dove il parametro m è detto coefficiente angolare ed il parametro p è detto ordinata all’origine.

L’ordinata all’origine p indica infatti l’ordinata del punto che sulla retta ha ascissa nulla,

ovvero l’ordinata dell’intersezione della retta con l’asse y.

Ciò si ottiene sostituendo all’equazione della retta il valore x = 0.

Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x,

precisamente è la tangente dell’angolo α che la retta forma col semiasse positivo delle x,

considerato in senso antiorario.

Se il coefficiente angolare m è positivo, l’angolo α è acuto, se invece è negativo, l’angolo α è ottuso.

 

Trigonometria.

Il modo tradizionale di misurare gli angoli in gradi, primi e secondi ha lo svantaggio di portare ad una notevole complessità di calcolo perché questa misura non è su base decimale.

Nell’analisi matematica la misura degli angoli viene invece effettuata in radianti

(per riferimenti più specifici su questo argomento rimandiamo alla sezione Trigonometria).

Coefficiente angolare di una retta nel piano.

Ritorniamo al coefficiente angolare di una retta perché esso è propedeutico al concetto di derivata, nozione base di tutto il calcolo differenziale.

Consideriamo una retta generica nel piano cartesiano di equazione

Consideriamo sulla retta il punto A di ascissa 0 ed il punto B di ascissa 1.

Sostituendo nell’equazione della retta si ottengono le coordinate di tali punti:

A (0 , p)  e      B(1 , m + p) .

Rappresentiamoli graficamente:

Il segmento BH misura quindi m

(dotato di segno, in modo che se B sta sopra H, m   è positivo, se B sta sotto H, m è negativo). Possiamo allora immaginare che A sia il centro di un cerchio trigonometrico di raggio AH

(uguale ad 1).

Il parametro m, quindi, rappresenta la tangente dell’angolo α :

m = tg α .

Questa proprietà del coefficiente angolare è fondamentale.

Possiamo notare, infatti, che il coefficiente angolare m

 uguaglia ogni rapporto fra cateti omologhi ad AH ed HB,

per cui i punti A e B potrebbero avere qualunque ascissa, non necessariamente 0 e 1,

ed il rapporto sarebbe lo stesso (sempre uguale ad m).

Se m è positivo, l’angolo α è acuto.

Se m è negativo, l’angolo α è ottuso.

Se m è nullo, l’angolo α è nullo, e la retta è parallela all’asse delle x.

Se la retta è parallela all’asse delle y, l’angolo α diventa π / 2

ed il valore di m non esiste (più precisamente, tende all’infinito).

Il coefficiente angolare di una retta si chiama anche pendenza,

gradiente, derivata, rapporto incrementale.

Questi concetti saranno studiati approfonditamente durante il corso.