La funzione logaritmo
La funzione logaritmica (o funzione logaritmo) è una applicazione
così definita:
dove a è un numero positivo diverso da 1.
L’espressione log a x si legge “logaritmo in base a di x”;
a è la base del logaritmo, x è l’argomento.
Come la funzione esponenziale, anche la funzione logaritmo è monotona crescente se a > 1,
mentre è monotona decrescente se 0 < a < 1, come mostrano le figure:
( la curva tratteggiata è quella corrispondente a 0 < a < 1).
Un caso particolare della funzione logaritmo si ottiene quando la base è uguale ad e;
in tal caso la funzione è chiamata logaritmo naturale e si indica con ln(x).
Un altro esempio che si incontra spesso è con a = 10, che in genere si indica con Log(x).
Il logaritmo in base a di un numero x può essere definito anche come
l’esponente che bisogna dare alla base a per ottenere l’argomento x.
Esempio.
log 2 8 = 3 : l’esponente che bisogna dare a 2 per ottenere 8 è 3.
Da questa definizione si nota che la funzione esponenziale a y = x è l’inversa della funzione logaritmo y = log a x .
Per questo motivo, quando ci troviamo di fronte a equazioni del tipo
5 = ln (x) possiamo scrivere
e 5 = e ln (x) da cui
e 5 = x (la funzione “e” e la funzione “ln” si sono “semplificati”, essendo una l’inversa dell’altra).
Viceversa, data
17 = 3 x possiamo applicare il logaritmo in base 3 a primo e secondo membro
log 3 17 = log 3 3x da cui
log 3 17 = x per la definizione di logaritmo.
Proprietà del logaritmo.
Elenchiamo in modo sintetico le proprietà del logaritmo:
la
somma di due logaritmi aventi stessa base e diverso argomento è un logaritmo
avente come base la stessa base e come argomento il prodotto degli argomenti:
la
differenza di due logaritmi aventi stessa base e diverso argomento è un
logaritmo avente come base la stessa base e come argomento il rapporto degli
argomenti:
Attenzione!
e
Ricordiamo anche le formule per passare da un logaritmo in base 10 a quello naturale e viceversa :
dove